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高等数学公式定理整理

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高等数学公式定理整理

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1.01版

本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。

蓝色为定理红色为公式

三角函数恒等公式：

两角和差

和差化积

积化和差

倍角公式（部分）：很重要！

函数

函数的特性：

有界性：

假设函数在D上有定义，如果存在正数M，使得对于任何的x∈D都满足(x)|≤M。则称f（x）是D的有界函数。

如果正数M不存在，则称这个函数是D上的无界函数。

单调性

设f（x）的定义域为D，区间。X1，x2∈I，那么，如果x1x2,那么就是单调增加函数；如果x1x2,那么就是单调减少函数。

奇偶性

如果f()(x),那就成为偶函数，如果f()(x)，那就是奇函数。

周期性

设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一x∈D有（x±T）∈D，且f（x±T）（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如x，x，它们就是以2π为周期的周期函数。

反函数：

就是用自变量X来表示原函数Y，如下列式子：

原函数f(x)5，它的反函数为(x)-5,也就是f（x）5；

复合函数和初等函数：

重要！：六个基本初等函数是：幂函数（）,指数函数（），对数函数（，x【10x】，x【】），三角函数（，，，，，），反三角函数（常见反三角函数为，，）

复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。

极限与连续

极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用→x0f（x）

如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右极限相等。

极限运算法则

→x0[f（x）±g(x)]→x0f（x）±→x0g（x）±B

→x0[（x）]→x0f（x）

→x0f（x）·→x0g（x）→x0f（x）·g（x）·B

=（B≠0）

重要！：两个重要极限

夹逼准则

如果，，满足≤≤

那么这就是夹逼准则。

图图\*1

如图1，∠（0x2/π），由于，弧，x且△面积＜扇形面积＜△面积，于是有：

化简

两边同时除以

根据夹逼准则得出

所以

（这是标准公式，题目有类似的把它转换成标准公式即可）

无穷大量和无穷小量

性质1，无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量

性质2，两个无穷小量之积仍为无穷小量

性质3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量

定理1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。

定理2，b与a是等价无穷小的充分必要条件为（a）

定理3,设’’，且’’存在，则’’。

无穷小量的比较：

其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且x趋于0）

等价公式：当x→0时，，，

，

，

1(1/2)*（x^2）1，

（a^x）-1*(（a^1))，（e^x）-1，(1)，(1)1，[(1)1]-1~（1）*x，(1)，（1)1(a≠0)，

连续

定义设函数f（x）在x0的某个去心邻域内有定义，若（△x→0）△0，则称函数f（x）在x0这个点连续。

条件：（1）f（x0）有定义，有数值；（2）（x→x0）有极限，（3）且左右极限相等；才连续。

左右连续和左右极限相同，如图：

就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。

间断点

根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。

可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。

跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有（无）定义。

震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。

无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。

闭区间连续函数的性质：

[]区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；

函数f（x）在[]区间连续，则在[]必定有界；

若函数f(x)在[]连续，且f(a)(b),又A≠B，C是介于A，B的一个值，则必定存在一个点ξ，使得f（ξ）；

若函数f(x)在[]连续，且f(a)，f(b)异号，则一定存在一个x0∈（a，b），使得f（x0）=0；

导数

导数的几何意义就是f(x)在x点函数的切线的斜率；

求某一点的导数

连续不一定可导，可导一定连续；

导数的求导公式：

1(c为常数)y=0

2y(1)

3y

y

y=1

5y

6y

7y=12x

8y12x

9y=1/√12

10y1/√12

11y=1/12

12y1/12

函数的求导法则：

复合函数求导法则：

链式法则：

例：

隐函数求导法：

两端同时求导

等式两端取对数

先将等式两边取自然对数；2.对等式两边求导；

参数方程求导法：

罗尔定理：[]连续，()可导，且f(a)(b),则