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计算题：
、、.三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为1 1 1,求
、、
5 3 4
将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率.
解.：设A
i
??第i人能破译?,i?1,2,3,则
P(U3
i=1
A)?1?P?AA
i 1 2
A??1?P?A
3 1
P(A
?2
?
)P(A
3
)?1?4?2?3
5 3 4
?0.6 (6分)
P?AA
A??P?AA
A??P?AAA
? (8分)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
??P?A?P(A)P(A)?P?A?P(A
?
)P(A
)?P?A P(A)P(A
) (10
1 2 3
分)
1 2 3
1 2 3
?1?2?3?4?1?3?4?2?1
?13 (12分)
5 3 4 5 3 4 5 3 4 30
.已知随机变量X的分布律为
X
X
P
-1
0
1
2
令Y?cosπX，
求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）。解：（1）
P
P
XY
-1
-1
0
1
1
-1
2
1
故Y的分布分律为
Y
Y
P
-1
1
从而E(Y)=(-1)*+1*=
??3xy2, 0?x?2,0?y?1
?
.设(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??2
?? 0, 其它
试求关于X和Y的边缘分布密度，（2）问X和Y是否相互独立(需说明理由).
解：
????13xy2dy, 0?x?2 ?1x, 0?x?2
?
?
f (x)????
??
f(x,y)dy?? 2 ??2 (3分)（为
0?? 0, 其它 ??0, 其它
0
什么等于二分之一x而不是二分之三x？））
???23xy2dy, 0?y?1 ?3y2, 0?y?1
?
f(y)????
??
f(x,y)dx??
??
02 ??
0, 其它 ?
0, 其它
(6 分)
（这里dy应该是dx）从而:
f (x)gf
X Y
(y)?f(x,y),故X和Y相互独立. (12分)
.设随机变量X和Y的方差分别为25和36，相关系数为，求D（X+Y）及D（X-Y）.解：
D(X+Y)=DX+DY+2?
XY
DX DYD(X-Y)=DX+DY-2?
DX DY
?25?36?2?0.4? 25?
DX DY36?25?36?2?0.4? 25?
DX DY
36
?85 (6 分)
36?37 (12分)
36
XY
.设总体X具有概率密度
??x??1
0f(x)=?
0
?
0?x?1
其它
x,x,?,x 为来自总体X的容量为n的样本，求θ的极大似然估计.
1 2 n
解：
L(?)??n f(x,?)??n?n
x??1,0?x
?1,i?1,2,...n. (4分)
i
i?1
i i
i?1
lnL(?)?nln??(??1)?n
i?1
lnx. (8分)
i
令dlnL(?)?n??n
lnx
?0,得:???
n . (12分)
d? ?
i
i?1
?n
i?1
lnx
i
.两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为20％，30％。求：(1)敌机至少中一弹的概率；(2)敌机恰中一弹的概率
解.设A表示第i门高射炮击中敌机,i?1,2,则
i
(1) P(AU A)?P?A??P?A
??P?AA
??P?A??P?A??P?A?gP?A
??0.44
1 2 1
2 1 2
1 2 1 2
(6 分 ) (2) P(A
A)?P(A
A)?P?A?P(A
)?P(A
)P?A
??0.38
(12分)
1 2 1 2
1 2 1 2
.某射手有3发子弹，射一次命中的概率为2，如果命中了就停止射击，否则
3
一直射到子弹用尽。设X表示耗用的子弹数。求：（1）X的分布列；（2）E（X）
解：X的可能取值为1,2,3,于是
P?X?1??
2,P?X?2??
2?1?
2,
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