概率论与数理统计答案 第四章 大数定律与中心极限定理.docx

第四章 大数定律与中心极限定理

设D(x)为退化分布：

?0 x?0D(x)??

?0 x?0

?

讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

(1){D(x?n)};(2){D(x?

1)};(3){D(x?

10},其中n?1,2,?

n n

F x解：（1）（2）不是；（3

F x

( )

设分布函数 n 如下定义：

? 0

x??n

F(x)?limF

F (x)?

n

(x)

?x?n

?

1?2n

1

?

?

n?x?n

x?n

问 n?? n

是分布函数吗？

解：不是。

设分布函数列

{F (x)}

n

弱收敛于分布函数

F(x)

，且

F(x)

为连续函数，则

{F (x)}

n 在

(??,?)

上一致收敛于

F(x)

。

证：对任意的

? ?0

，取M

充分大，使有

1?F(x)??,?x?M;F(x)??,?x??M

对上述取定的M，因为F(x)在[?M,M]上一致连续，故可取它的k分点：

x ??M ?x

1 2

使有

???x

?x ?M

k?1 k ，

F(x

i?1

)?F(x

i

)??,1?i?k

，

x ???,x ??

再令 0 k?1 ，则有

F(x )?F(x)??,0?i?k?1

i?1 i （1）

这时存在N，使得当n

?N时有

|F (x

n i

)?F(x

i

)|??,0?i?k?1

（2）

成立，对任意的

x?(??,?)

，必存在某个

i(0?i?k)

，使得

x?(x

i

,x )

i?1 ，

由（2）知当

n?N

时有

F (x)?F

n n

(x

i?1

)?F(x

i?1

)??

（3）

F (x)?F (x

n n i

)?F(x

i

)??

（4）

由（1），（3），（4）可得

F(x)?F(x)?F(x

n

i?1

)?F(x)???F(x

i?1

)?F(x

i

)???2?

，

F (x)?F(x)?F(x

n i

)?F(x)???F(x

i

)?F(x

i?1

)????2?

F

即有 n

(x)?F(x)?2?

成立，结论得证。

??????

?

?

??

??

同时依概率收敛于随机变量?

与?，证明这时必有

P(???)?1

。

? ?

证：对任意的

0 ??????????

有 ??

???

n

???

??2??，故

??

0?P????????P????

????P??

???

???0,n?0

??0

? ?

? n 2?

P????????0

? ?

? n 2?

?即对任意的 有 成立，于是有

?

? ?P??????P???????

? ?

1?????

??k

??

P?????

1??0

?k

?

?k?1?

从而P(???)?1成立，结论得证。

?? k?1 ? ?

设随机变量序列???，???分别依概率收敛于随机变量?与?，证明：

n n

? ??

（1） n n

?P???? ?

；（2）

?? ?P????

nn 。

n

??

?????

证：（1）因为

?? ????????? ????????

???

??? ?

????

??故n

??故

??

0?P(????? ?? ??)?P????

? ?

????P????

??

????0,n??

?

n n ?

? ?

n 2? ?

?

n 2?

? ??

即 n n

?P????

成立。

?2

?（2）先证明这时必有 n

?

?P??2

。对任给的

??0,?

?0 M

取

足够大

?? ?1?

P?? ?

M?1??? M N

? ?

M ，使有

?

2 成立，