2022-2023学年上海高一下学期数学教材同步 核心考点03平面向量的概念和线性运算含详解.docxVIP

核心考点03平面向量的概念和线性运算

目录

一．向量的概念与向量的模（共10小题）

二．向量相等与共线（共9小题）

三．向量的加法（共1小题）

四．向量的减法（共1小题）

五．向量的三角形法则（共1小题）

六．向量加减混合运算（共1小题）

七．向量数乘和线性运算（共3小题）

八．平面向量数量积的含义与物理意义（共4小题）

考点考向

考点考向

一．向量的概念与向量的模

【向量概念】

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．

【向量的几何表示】

用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．

【向量的模】

的大小，也就是的长度（或称模），记作||．

【零向量】

长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．

【单位向量】

长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．

【相等向量】

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．

二．向量的加法

【知识点的知识】

向量的加法运算

求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：

（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量叫做与的和，记作，即+＝+＝

特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．

（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．

特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）

（3）向量的加法性质

①+＝+＝；+（﹣）＝；

②+＝+；

③（+）+＝+（+）．

三．向量的减法

【知识点的知识】

向量的减法及其几何意义：

求两个向量差的运算叫向量的减法运算．

法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．

设＝，＝，则．即＝＝．即

特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）

四．向量的三角形法则

【知识点的知识】

三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量叫做与的和，记作，即+＝+＝

特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．

五．向量加减混合运算

【知识点的知识】

1、向量的加法运算

求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：

（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量叫做与的和，记作，即+＝+＝

特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．

（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．

特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）

（3）向量的加法性质

①+＝+＝；+（﹣）＝；

②+＝+；

③（+）+＝+（+）．

2、向量的减法运算．

求两个向量差的运算叫向量的减法运算．

法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．

设＝，＝，则．即＝＝．即

特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）

六．向量数乘和线性运算

【知识点的知识】

（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．

当λ＝0时，λ与平行．

对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥?＝λ

（2）向量数乘运算的法则

①1＝；（﹣1）＝；

②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；

③（λ+μ）＝λ+μ；

④λ（+）＝λ+λ．

一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．

七．平面向量数量积的含义与物理意义

【知识点的知识】

1、向量的夹角概念：

对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．

2、向量的数量积概念及