2022-2023学年上海高一下学期数学教材同步 核心考点06复数含详解.docxVIP

核心考点06复数

考点精讲目录

一．虚数单位i、复数（共7小题）

二．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）

三．纯虚数（共7小题）

四．复数的运算（共10小题）

五．复数的模（共8小题）

六．复数的三角表示（共3小题）

七．实系数多项式虚根成对定理（共3小题）

考点考向

考点考向

一．虚数单位i、复数

【虚数单位i的概念】

i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．

【复数的运算】

①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．

②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M?N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．

【例题解析】

例：定义运算，则符合条件的复数z为．

解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．

这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．

【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．

2、复数相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．

3、共轭复数：a+bi与c+di共轭?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．

4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．

二．复数的代数表示法及其几何意义

1、复数的代数表示法

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．

2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：

（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；

（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．

3、复数中的解题策略：

（1）证明复数是实数的策略：

①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．

（2）证明复数是纯虚数的策略：

①z＝a+bi为纯虚数?a＝0，b≠0（a，b∈R）；

②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数?z+＝0且z≠0．

三．复数的运算

复数的加、减、乘、除运算法则

四．复数的模

1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．

2、复数相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．

3、共轭复数：a+bi与c+di共轭?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．

4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．

五．实系数多项式虚根成对定理

实系数多项式虚根成对定理：

n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则＝a0﹣b0i也是方程的根．

考点精讲

考点精讲

一．虚数单位i、复数（共7小题）

1．（2022春?虹口区校级期末）已知复数z，则“z+＝0”是“z为纯虚数”的（）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分也非必要

2．（2022春?浦东新区校级期末）3+4i的虚部是．

3．（2022春?浦东新区校级期末）已知复数z＝10+17i，则Rez＝．

4．（2022春?浦东新区校级期末）若i是虚数单位，当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为．

5．（2022春?杨浦区校级期中）已知i为虚数单位，则复数2+i的虚部是．

6．（2022春?松江区校级期末）设z、z1、z2∈C，则下列命题中的真命题为（）

A．若z1＞z2，则z1+z＞z2+z

B．若z+＝0，则z为纯虚数

C．若z1z2＝