概率论与数理统计答案 第三章 连续型随机变量.docx

第三章 连续型随机变量

设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：

（1）P(?

?a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a)

解：（1）P(?

（2）P(?

（3）P(?

（4）P(?

?a)?F(a?0)?F(a)；

?a)?F(a?0)；

?a)=1-F(a)；

?a)?1?F(a?0)。

函数F(x)? 1

1?x2

是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果

（1）???x???

（2）0?x??，在其它场合适当定义；

（3）-??x?0，在其它场合适当定义。

解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；

F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；

F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义

~ ?F(x) ???x?0

F(x)??

? 1

~

x?0

则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为

（1）

?

[0,

2

]；（2）

[0,?]

；（3）

[0,3?]。

2

解：（1）当

x?[0,?

2

]时，

sinx?0且

?

?2sinxdx

0

=1，所以

sinx

可以是某个随机变量的分布密度；

因为?xsinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；

0

当x?[?,3?]时， sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。

2

设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的a?0,有（1）

F(?a)?1?F(a)?1?

2

?ap(x)dx；

0

（2）P（?

（3）P(?

?a)?2F(a)?1；

?a)?2?1?F(a)?。

证：（1）F(?a)???ap(x)dx?1???

?? ?a

p(x)dx

=1????p(?x)dx?1??a

p(x)dx

a

=1?F(a)?1??0

??

??

p(x)dx

?a

p(x)dx?

1??a

p(x)dx；

（2）P(?

0

?a??a

2 0

p(x)dx?2?a

p(x)dx，由（1）知

?a 0

1-F(a)?

故上式右端=2F(a)?1；

1??a

2 0

p(x)dx

（3）P(?

设F(x)与

1

?a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。

F(x都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明

2

F(x)?aF

1

(x)?bF

2

(x)

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？

证：因为F(x)与

1

F(x都是分布函数，当x

2 1

?x时，F(x

2 1 1

)?F(x

1 2

)，F

2

(x)?F

1 2

(x)，

2

于是

F(x

1

)?aF(x

1 1

)?bF

2

(x)?aF(x

1 1 2

)?bF

2

(x)?F(x)

2 2

又

limF(x)?lim[aF

(x)?bF

(x)]?0

x???

x??? 1 2

limF(x)?lim[aF

(x)?bF(x)]?a?b?1

x?? x?? 1 2

F(x?0)?aF(x?0)?bF(x?0)?aF(x)?bF

(x)?F(x)

1 2 1 2

所以，F(x)也是分布函数。取a?b?1，又令

2

?0 x?0

?0 x?0

?

F(x)?? F(x)??x 0?x?1

?1 ?1 x?0

?

2

1? x?1

1

这时

?0

?1?xF(x)??

? 2

?1

x?00?x?1

x?1

显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可