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核心考点04向量的数量积
目录
一.平面向量数量积的性质及其运算(共16小题)
二.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(共5小题)
三.向量的投影(共5小题)
四.数量积表示两个向量的夹角(共13小题)
五.数量积判断两个平面向量的垂直关系(共9小题)
考点考向
考点考向
一.平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质:
设,都是非零向量,是与方向相同的单位向量,与和夹角为θ,则:
(1)==||cosθ;
(2)?=0;(判定两向量垂直的充要条件)
(3)当,方向相同时,=||||;当,方向相反时,=﹣||||;
特别地:=||2或||=(用于计算向量的模)
(4)cosθ=(用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状)
(5)||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
(1)交换律:;
(2)数乘向量的结合律:(λ)?=λ()=?();
(3)分配律:()?≠?()
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①(±)2=2±2?+2.②(﹣)(+)=2﹣2.③?(?)≠(?)?,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的,有些不一样.
二.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念:
对于两个非零向量,如果以O为起点,作=,=,那么射线OA,OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角,其中0≤θ≤π.
2、向量的数量积概念及其运算:
(1)定义:如果两个非零向量,的夹角为θ,那么我们把||||cosθ叫做与的数量积,记做
即:=||||cosθ.规定:零向量与任意向量的数量积为0,即:?=0.
注意:
①表示数量而不表示向量,符号由cosθ决定;
②符号“?”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替;
③在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是:0≤θ≤π.
(2)投影:在上的投影是一个数量||cosθ,它可以为正,可以为负,也可以为0
(3)坐标计算公式:若=(x1,y1),=(x2,y2),则=x1x2+y1y2,
3、向量的夹角公式:
4、向量的模长:
5、平面向量数量积的几何意义:与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积.
三.向量的投影
【知识点的知识】
1、两个向量的数量积及其性质:
(1)?=||||cos<,>;
(2)⊥??=0(,为非零向量);
(3)||2=2,||=.
2、向量的投影:||cosθ=∈R,称为向量在方向上的投影.
四.数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的,也知道向量是可以平行的或者共线的,那么,当两条向量与不平行时,那么它们就会有一个夹角θ,并且还有这样的公式:cosθ=.通过这公式,我们就可以求出两向量之间的夹角了.
五.数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的,那么在一个空间内,不同的向量可能是平行,也可能是重合,也有可能是相交.当两条向量的方向互相垂直的时候,我们就说这两条向量垂直.假如=(1,0,1),=(2,0,﹣2),那么与垂直,有?=1×2+1×(﹣2)=0,即互相垂直的向量它们的乘积为0.
考点精讲
考点精讲
一.平面向量数量积的性质及其运算(共16小题)
1.(2022春?闵行区校级月考)下列说法正确的是()
A.若,则
B.若非零向量与满足,则
C.若∥,∥,则∥
D.若,则与夹角为必为锐角
2.(2022春?长宁区校级期末)设向量、满足,则=.
3.(2022春?闵行区校级期末)已知△ABC中,,,求的值.
4.(2022春?浦东新区校级期中)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是()
A.()2=||2 B.()()=22
C.||≤||?|| D.||≤|||﹣|||
5.(2022春?长宁区校级期末)下列命题中,真命题的个数是()
(1)若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}也是等比数列.
(2)若,则或.
(3).
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2022春?宝山区校级月考)已知G为△ABC的重心(三条中线的交点),∠BAC=,?=﹣2,则||的最小值为()
A. B. C. D.
7.(2022春?嘉定区校级期末)设为任意非零向量,且相互不共线,则下列命题中是真命题的有()
(1);
(2);
(3)不与垂直;
(4).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.(2022春?徐汇区期末)已知、为非零向量,则“”是“为锐角”的()条件.
A.充要 B.必要不充分
C.充分不必要 D.既不充分也不必要
9.(2022秋?静安区校级期中)若向量、、满足,且,则?、?、?中最大的是()
A. B
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