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核心考点04向量的数量积

目录

一.平面向量数量积的性质及其运算(共16小题)

二.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(共5小题)

三.向量的投影(共5小题)

四.数量积表示两个向量的夹角(共13小题)

五.数量积判断两个平面向量的垂直关系(共9小题)

考点考向

考点考向

一.平面向量数量积的性质及其运算

【知识点的知识】

1、平面向量数量积的重要性质:

设,都是非零向量,是与方向相同的单位向量,与和夹角为θ,则:

(1)==||cosθ;

(2)?=0;(判定两向量垂直的充要条件)

(3)当,方向相同时,=||||;当,方向相反时,=﹣||||;

特别地:=||2或||=(用于计算向量的模)

(4)cosθ=(用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状)

(5)||≤||||

2、平面向量数量积的运算律

(1)交换律:;

(2)数乘向量的结合律:(λ)?=λ()=?();

(3)分配律:()?≠?()

【平面向量数量积的运算】

平面向量数量积运算的一般定理为①(±)2=2±2?+2.②(﹣)(+)=2﹣2.③?(?)≠(?)?,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的,有些不一样.

二.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【知识点的知识】

1、向量的夹角概念:

对于两个非零向量,如果以O为起点,作=,=,那么射线OA,OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角,其中0≤θ≤π.

2、向量的数量积概念及其运算:

(1)定义:如果两个非零向量,的夹角为θ,那么我们把||||cosθ叫做与的数量积,记做

即:=||||cosθ.规定:零向量与任意向量的数量积为0,即:?=0.

注意:

①表示数量而不表示向量,符号由cosθ决定;

②符号“?”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替;

③在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是:0≤θ≤π.

(2)投影:在上的投影是一个数量||cosθ,它可以为正,可以为负,也可以为0

(3)坐标计算公式:若=(x1,y1),=(x2,y2),则=x1x2+y1y2,

3、向量的夹角公式:

4、向量的模长:

5、平面向量数量积的几何意义:与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积.

三.向量的投影

【知识点的知识】

1、两个向量的数量积及其性质:

(1)?=||||cos<,>;

(2)⊥??=0(,为非零向量);

(3)||2=2,||=.

2、向量的投影:||cosθ=∈R,称为向量在方向上的投影.

四.数量积表示两个向量的夹角

【知识点的知识】

我们知道向量是有方向的,也知道向量是可以平行的或者共线的,那么,当两条向量与不平行时,那么它们就会有一个夹角θ,并且还有这样的公式:cosθ=.通过这公式,我们就可以求出两向量之间的夹角了.

五.数量积判断两个平面向量的垂直关系

【概念】

向量是有方向的,那么在一个空间内,不同的向量可能是平行,也可能是重合,也有可能是相交.当两条向量的方向互相垂直的时候,我们就说这两条向量垂直.假如=(1,0,1),=(2,0,﹣2),那么与垂直,有?=1×2+1×(﹣2)=0,即互相垂直的向量它们的乘积为0.

考点精讲

考点精讲

一.平面向量数量积的性质及其运算(共16小题)

1.(2022春?闵行区校级月考)下列说法正确的是()

A.若,则

B.若非零向量与满足,则

C.若∥,∥,则∥

D.若,则与夹角为必为锐角

2.(2022春?长宁区校级期末)设向量、满足,则=.

3.(2022春?闵行区校级期末)已知△ABC中,,,求的值.

4.(2022春?浦东新区校级期中)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是()

A.()2=||2 B.()()=22

C.||≤||?|| D.||≤|||﹣|||

5.(2022春?长宁区校级期末)下列命题中,真命题的个数是()

(1)若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}也是等比数列.

(2)若,则或.

(3).

A.0 B.1 C.2 D.3

6.(2022春?宝山区校级月考)已知G为△ABC的重心(三条中线的交点),∠BAC=,?=﹣2,则||的最小值为()

A. B. C. D.

7.(2022春?嘉定区校级期末)设为任意非零向量,且相互不共线,则下列命题中是真命题的有()

(1);

(2);

(3)不与垂直;

(4).

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

8.(2022春?徐汇区期末)已知、为非零向量,则“”是“为锐角”的()条件.

A.充要 B.必要不充分

C.充分不必要 D.既不充分也不必要

9.(2022秋?静安区校级期中)若向量、、满足,且,则?、?、?中最大的是()

A. B

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