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概率论与数理统计习题及答案

习题一

写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.

掷一颗骰子，出现奇数点.

掷二颗骰子，

A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”

B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.”

将一枚硬币抛两次，A=“第一次出现正面.”B=“至少有一次出现正面.”C=“两次出现同一面.”

【解】（1）???1，2，3，4，5，6?，A??1，3，5?；

,6?,(2)???(i,j)|i,j?

,6?,

A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,

B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6, 2),(6,4),(6,6)?;

(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,

A??(正,正),(正,反)?,

B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,

设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：

A发生，B，C都不发生；

A与B发生，C不发生；

A，B，C都发生；

A，B，C至少有一个发生；

A，B，C都不发生；

A，B，C不都发生；

A，B，C至多有2个发生；

A，B，C至少有2个发生.

【解】（1）ABC （2）ABC （3）ABC

（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC

ABC(5) ABC=A B C (6)

ABC

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C

AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.

【解】P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

7.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：

在什么条件下P（AB）取到最大值？

在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；

（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1）设A={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故

1

P（A）=

1 1

=（ ）5

（亦可用独立性求解，下同）

1 75 7

2（2）设A={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

2

65 6

P（A2）=75=(7)5

(3)设A

3={五个人的生日不都在星期日}

1

P（A3）=1?P(A1)=1?(7)5

从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.

【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C3

50

种取法.因只有一件次品,所以从

45个正品中取2个,共C2

45

种取法;从5个次品中取1个,共C1种取法,由乘法原理,恰有一件次5

.C2C1

.

品的取法为C2

45

C1种,所以所求概率为P?5

45 5

C3

50

一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nN）.试求其中恰有m件（m≤

M）正品（记为A）的概率.如果：

n件是同时取出的；

n件是无放回逐件取出的；

n件是有放回逐件取出的.

【解】（1）P（A）=CmCn?m /Cn

M N?M N

(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有Pn种，n次抽取中有m

N

次为正品的组合数为Cm种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正

n

品中取m件的排列数有Pm种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为Pn?m种，

M

故

CmPmPn?m

N?M

P（A）=

n M N?M

Pn

N

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

CmCn?m

P（A）=

M N?M

Cn

N

可以看出，用第二种方法简便得多.

（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法