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微专题二全等三角形的半角、手拉手及一线三等角模型
模型一半角模型
全等三角形中,半角模型是指在证明两个三角形全等时,在某个角中出现它的半角的情况,其常见类型如:
如图:∠DAE=12∠BAC,AB=AC,该模型通常将?ADB进行旋转,旋转角等于∠BAC,如图:
得到?ADB??AFC;?ADE??AFD。
提醒:可以尝试证明一下
【典例1】问题情境:已知,在等边△ABC中,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且∠MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.
方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;
小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;
问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)CM=AN+MN,详见解析;(2)CM=MN﹣AN,详见解析
【分析】(1)在AC上截取CD=AN,连接OD,证明△CDO≌△ANO,根据全等三角形的性质得到OD=ON,∠COD=∠AON,证明△DMO≌△NMO,得到DM=MN,结合图形证明结论;
(2)在AC延长线上截取CD=AN,连接OD,仿照(1)的方法解答.
【详解】解:(1)CM=AN+MN,
理由如下:在AC上截取CD=AN,连接OD,
∵△ABC为等边三角形,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∴OA=OC,
在△CDO和△ANO中,
,
∴△CDO≌△ANO(SAS)
∴OD=ON,∠COD=∠AON,
∵∠MON=60°,
∴∠COD+∠AOM=60°,
∵∠AOC=120°,
∴∠DOM=60°,
在△DMO和△NMO中,
,
∴△DMO≌△NMO,
∴DM=MN,
∴CM=CD+DM=AN+MN;
(2)补全图形如图2所示:
CM=MN﹣AN,
理由如下:在AC延长线上截取CD=AN,连接OD,
在△CDO和△ANO中,
,
∴△CDO≌△ANO(SAS)
∴OD=ON,∠COD=∠AON,
∴∠DOM=∠NOM,
在△DMO和△NMO中,
,
∴△DMO≌△NMO(SAS)
∴MN=DM,
∴CM=DM﹣CD=MN﹣AN.
模型二手拉手模型
如图:AD=AE,AB=AC,将?ADE绕着A点旋转一定的角度,形成?AFG,连接BF,CG,可得?ABF??ACG。
提醒:可以尝试证明一下
【典例2】如图,若和都是等边三角形,求的度数.
【答案】120°.
【分析】利用等边三角形的性质可得AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,利用SAS即可证明△DAC≌△BAE,从而得出∠ABE=∠ADC,设AB与CD交于点F,根据三角形内角和定理和等量代换即可求出∠BOF,利用平角的定义即可求出结论.
【详解】证明:∵△ABD、△AEC都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,
∵∠DAC=∠BAC+60°,∠BAE=∠BAC+60°,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴∠ABE=∠ADC
设AB与CD交于点F,
∵∠BFO=∠DFA
∴∠BOF=180°-∠ABE-∠BFO=180°-∠ADC-∠DFA=∠DAB=60°
∴∠BOC=180°-∠BOF=120°.
模型三一线三等角模型
如图:点C在线段BD上,∠1=∠2=∠3,且在?ABC和?CDE中,有一组对应边相等,可得?ABC??CDE。
提醒:可以尝试证明一下
【典例3】如图,在中,.
(1)如图①所示,直线过点,于点,于点,且.求证:.
(2)如图②所示,直线过点,交于点,交于点,且,则是否成立?请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)仍然成立,理由见解析
【分析】(1)首先根据同角的余角相等得到,然后证明,然后根据全等三角形对应边相等得到,,然后通过线段之间的转化即可证明;
(2)首先根据三角形内角和定理得到,然后证明,根据全等三角形对应边相等得到,最后通过线段之间的转化即可证明.
【详解】证明:(1)∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∵,
∴;
(2)仍然成立,理由如下:
∵,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∵,
∴.
一、单选题
1.如图,在中,,,D、E是斜边上两点,且,若,,,则与的面积之和为(???????)
A.36 B.21 C.30 D.22
【答案】B
【分析】将关于对称得到,从而可得的面积为15,再根据对称的性质
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