第四章电磁场与电磁波.pptxVIP

第四章 静态场的解;边值问题的唯一性定理

镜像法（间接法）

分离变量法（直接法）

有限差分法（数值法）;第一类边值问题（狄利赫利（Dirichlet）问题）边界上的位函数已知。

第二类边值问题（诺伊曼（Neumann）问题）位函数在边界上的法向导数已知。

第三类边值问题（混合边值问题）

部分边界上位函数已知，部分边界上位函数的法向导数已知。;一、唯一性定理：

对任意的静电场，当空间各点的电荷分布与整个边界上

的边界条件已知时，空间各部分的场就唯一确定了。

即在给定边界条件下，泊松方程和拉普拉斯方程的解唯一

唯一性定理的意义：

指出了静态场边界问题具有唯一解的条件：有确定 的边界条件，有同样的电位方程

为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结 果正确性提供了判据

唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据;即证;2、格林第二恒等式;三、唯一性定理证明

用反证法证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。

设在区域V内，φ1和φ2满足泊松方程，即;再再使使用用边边界界面面上上φ=0，，;§4.3 镜像法(间接求解法);静电感应：导体因受外电场作用而发生电荷重新分布 的现象，称为静电感应。

感应电荷：导体上因静电感应而出现的电荷，称为感 应电荷，感应电荷一般来说是不均匀的。

镜像法定义：暂时忽略边界的存在，在所求区域之外 放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的感应电荷 分布来进行计算的方法。虚拟电荷被称为镜像电荷

镜像法目的：把原问题中包含典型边界的计算问题化 为无限大均匀媒质空间中的问题求解，达到简化求解 目的。

镜像法理论依据：唯一性定理 因此引入镜像电荷后，应有：

》电位函数仍然满足原拉普拉斯方程或泊松方程

》电位分布仍满足原边界条件;两个实例

1、求位于接地无限大导体板附近的点电荷在板上方产生的电位

非均匀感应电荷

非均匀感应电荷产生

的电位很难求解，可以用等效电荷替代

等效电荷

2、求接地导体球附近的点电荷在球外产生的电位等效电荷

非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷替代

非均匀感应电荷;镜像电荷位置选择原则：

镜像电荷需位于求解区域外，电位函数满足原方程

镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件

镜像法的应用领域（分布在导体附近的电荷产生的场）

无限大导体平面附近的点电荷或线电荷产生的场

位于导体球附近的点电荷产生的场

位于无限长圆柱导体附近的平行线电荷产生的场

镜像法主要步骤

根据求解问题特点确定坐标系

根据唯一性定理，利用边界条件和拉普拉斯方程确定镜像电荷的位置和大小。

根据求得的镜像电荷的位置和大小，求其与原电荷共同产生的电场和电位等等。;§4.3.1 平面镜像法;由等效问题，可以求出在z0空间内的电位分布为：;例：点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？;θ=45°时，镜像电荷为7个;例：图为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为100nC的点电荷置于(3，4，0)点，其中各坐标单位为m。求：(3，5，0)点处的电位和电场强度。;续;电位参考点Q不能位于无穷远点，否则表达式无意义

根据表达式最简单原则，选取ρ=1柱面为电位参考面，即ρQ=1，得：

无限长线电流在空间产生的电位;线电荷对接地导体面的镜像，可得到等效问题为;§4.3.2 球面镜像法;续：;2、点电荷q对不接地且不带电的球面导体边界的镜像;分析可知：点电荷q对不接地且不带电导体球面的镜像电荷有两个;镜像电荷1：

电量：

位置：

镜像电荷2：;例：真空中一点电荷q位于不带电导体球附近。导体球半径为a，点电荷距离球心距离为d（da)。求：

1）导体球接地时球外电位分布及电荷q所受的电场力;电荷q受静电力为：;则球外空间任意点P处电位为;§4.4 分离变量法;三个重要的数学定理;直角坐标系中的分离变量法;上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：;常微分方程的解：以X”/X=α2式为例，说明X的形式与

α的关系;积分常数的大致确定方法：;例4-7横截面为如图所示的导体长槽，上方有一块与槽

相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0，求此区域内的电位。

解：导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程和边界条件：;设;当k≠0时：;已知边界条件：;将此式按傅立叶级数展开，即等式两边同乘以再对x从0到a积分，得;等式右边;§4.7 有限差分法;差分表示式;方法

简单迭代法

步骤：先对每一网格点设初值。然后按固定顺序（从左到右，从下到上），利用二维拉普拉斯方程的有限差分形式用围绕它的四个点的电

位的平均值作其新值，当所有点计算完后，用它们的新值代替旧值，即完成了一次迭代。然后再进行下一