第08讲 填空小压轴—新定义问题-【多题一解一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）（解析版）.docxVIP

第08讲填空小压轴—新定义问题

【考点梳理】

新定义问题侧重考察的是“数学阅读”，关键在于概念的理解并加以运用。相较于传统的图形运动而言，其难度相对较低。因此读取概念，结合范例并加以运用是问题解决的关键。

【典型例题】

一．填空题（共11小题）

1．（2022?上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为2﹣．

【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，

∴圆心O就是三角形的内心，

∴当⊙O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，

过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，

∵CG＝CF＝DE，

∴OP＝OM＝ON，

∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，

∴AC＝BC＝×2＝，

由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，

∴AC?OP+BC?ON+AB?OM＝S△ABC＝AC?BC，

设OM＝x，则OP＝ON＝x，

∴x+x+2x＝×，

解得x＝﹣1，

即OP＝ON＝﹣1，

在Rt△CON中，OC＝ON＝2﹣，

故答案为：2﹣．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．

2．（2022?杨浦区三模）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，△ABC是等高底三角形，BC是等底，点A关于直线BC的对称点是点A′，联结AA′，如果点B是△AA′C的重心，那么的值是．

【分析】延长CB与AA′交于点D，根据轴对称性质得AC＝A′C，AD＝A′D，AD⊥CD，再由△ABC是等高底三角形，BC是等底，得AD＝BC，再根据三角形的重心定理得AD＝BC＝CD，设AD＝BC＝2x，则CD＝3x，由勾股定理用x表示AC，进而计算的值便可．

【解答】解：延长CB与AA′交于点D，

∵点A关于直线BC的对称点是点A′，

∴AC＝A′C，AD＝A′D，AD⊥CD，

∵△ABC是等高底三角形，BC是等底，

∴AD＝BC，

∵点B是△AA′C的重心，

∴AD＝BC＝CD，

设AD＝BC＝2x，则CD＝3x，

∴AC＝，

∴

故答案为：．

【点评】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出AD与CD的数量关系．

3．（2022?嘉定区二模）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC中，∠A＝45°，

∠B＝30°，CD是△ABC中边AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是1+．

【分析】设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，连接CM、CN交AB于E、F点，首先解直角三角形，可得AB的长，再根据重心的性质说明△MCN∽△ECF，得MN＝EF＝1+．

【解答】解：如图，设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，

连接CM、CN并延长交AB于E、F点，

在Rt△CBD中，∵∠B＝30°，

∴CD＝BC＝3，BD＝CD＝3，

在Rt△ACD中，∵∠A＝45°，

∴AD＝CD＝3，

∴AB＝AD+BD＝3+3，

∴EF＝AB＝，

∵△ADC和△BCD的重心分别为M、N，

∴，

∵∠MCN＝∠ECF，

∴△MCN∽△ECF，

∴MN＝EF＝1+，

故答案为：1+．

【点评】本题主要考查了重心的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握重心的性质是解题的关键．

4．（2022?徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：y＝x2﹣2x+4．

【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．

【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，

故答案为：y＝x2﹣2x+4．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，掌握二次函数图象的平移规律．

5．（2022?杨浦区二模）新定义：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，那么称为△ABC的中内弧．已知在Rt△ABC中，，点D、E分别是边AB、AC的中点，如果是△ABC的中内弧，那