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专题08函数零点问题与分段函数综合
考点一函数零点问题
1.(2022秋?丰台区期末)已知函数,则的零点所在的区间是
A. B. C. D.
【答案】
【详解】连续函数是增函数,(2),(3),
(2)(3),故函数的零点所在的区间为,
故选:.
2.(2022秋?石景山区期末)已知函数,则的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】
【详解】函数的零点为方程的根,
函数与函数的图象如下:
所以函数与函数有两个交点,
所以方程有两个实数根,
所以函数有两个零点,
故选:.
3.(2022秋?通州区期末)函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
【答案】
【详解】由题意可得(1),
(2),(3),
(4),
显然满足(2)(3),
故函数的零点所在的区间为
故选:.
4.(2022秋?延庆区期末)已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是
A. B. C. D.
【答案】
【详解】易得函数为减函数,
,
,
,
,,根据幂函数单调性可知,
,,
可得(3)(4),则函数包含零点的区间是.
故选:.
考点二分段函数综合问题
5.(2022秋?丰台区期末)已知函数的定义域为,满足,且当,时,.若,则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】
【详解】由已知得:自变量每减小2个单位,函数变为原来的2倍,
当,时,,,则在此基础上,,,
令,解得或,故的最大值为.
故选:.
6.(2022秋?房山区期末)已知函数,其中且.若关于的方程的解集有3个元素,则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】
【详解】当时,则有无数解,不合题意;
当且时,,,方程至多有一解,不合题意;
当时,作出函数的大致图象,
要使关于的方程的解集有3个元素,
则,解得,
所以的取值范围为.
故选:.
7.(2022秋?海淀区校级期末)已知函数是上的单调函数,则实数的取值范围为
A. B. C., D.
【答案】
【详解】①时,在上是增函数;
在上是增函数;
显然在,上不是增函数;
的情况不存在;
②时,在上是减函数;
在上是减函数;
;
解得;
综上得,实数的取值范围为.
故选:.
8.(2022秋?石景山区期末)设函数,若(1),则实数可以为(只需写出满足题意的一个数值即可)
【答案】(答案不唯一)
【详解】根据题意,函数,
当时,,
有(1),,满足(1),
故区间上的实数都符合题意,
则实数可以为,
故答案为:(答案不唯一).
9.(2022秋?门头沟区期末)已知函数是定义在上的增函数,则实数的取值范围是.
【答案】,
【详解】根据题意,函数是定义在上的增函数,
则有,解可得,即的取值范围为,;
故答案为:,.
10.(2022秋?海淀区校级期末)设函数,若,则实数,(2).
【答案】;
【详解】函数,若,
可得,解得;
(2).
(2).
故答案为:;.
11.(2022秋?门头沟区期末)已知是上的严格增函数,那么实数的取值范围是.
【答案】,
【详解】因为是上的严格增函数,
故,解得,
故所求的范围是,.
故答案为:,.
12.(2022秋?门头沟区期末)已知,则(2).
【答案】
【详解】由已知得(2),
故(2).
故答案为:.
13.(2022秋?西城区期末)已知函数若,则的解集为;若,,则的取值范围为.
【答案】,,;
【详解】当时,,
,,或,解得或,
的解集为,,.
,,
,解得,
的取值范围为.
故答案为:,,;.
14.(2022秋?通州区期末)已知函数,当方程有3个实数解时,的取值范围是.
【答案】,
【详解】方程有3个实数解,等价于函数的图象与直线有3个公共点,
因当时,在,上单调递减,在,上单调递增,,,当时,单调递增,取一切实数,
在同一坐标系内作出函数的图象及直线,如图:
由图象可知,当时,函数的图象及直线有3个公共点,方程有3个解,
所以的取值范围为,.
故答案为:,.
15.(2022秋?房山区期末)已知函数,当时,的值域为;若在定义域上是增函数,则的取值范围是.
【答案】;,
【详解】当时,,
当时,,当时,,,
所以函数的值域;
若函数在定义域上是增函数,
则,解得,
即的取值范围是,.
故答案为:;,.
16.(2022秋?海淀区期末)已知,当时,的单调减区间为;若存在最小值,则实数的取值范围是.
【答案】;,
【详解】当时,,
,为增函数,
,,
,单调递减,单调递增,
故的单调减区间为;
,为增函数,,,无最小值,
,,
要想函数有最小值则满足且,解得,
则实数的取值范围是,.
故答案为:;,.
17.(2022秋?昌平区期末)已知函数,则;的最小值为.
【答案】4;
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