导数基本概念.doc

第一节导数的概念与运算

思维导图

二、知识模块

【知识点1】导数的定义

导数的概念

设函数在附近有定义，如果时，与的比〔也叫函数的平均变化率〕有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作或.

即.

2.导数的物理意义：瞬时速度

设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了，这一段时间里车的平均速度为，当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.假设令，那么可以认为，即就是时刻的瞬时速度.

3.思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.

例1:设存在，求以下各式极限.

=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵

例2:假设，那么等于〔〕

A.B.C.D.

例3:设在处可导，那么等于〔〕

A.B.C.D.

例4:假设既是周期函数，又是偶函数，那么其导函数〔〕

A.既是周期函数，又是偶函数

B.既是周期函数，又是奇函数

C.不是周期函数，但是偶函数

D.不是周期函数，但是奇函数

例5:函数，那么的值为〔〕

A.B.C.或D.不存在

例6:，其中，那么的值为〔〕

A.B.C.D.

例7:，假设，那么等于〔〕

A.B.C.D.

例8:等于〔〕

B.C.D.不存在

例9:，那么____

例10:定义在上的函数，假设那么在处的导数___

例11:如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，那么___；___

例12:设等差数列的前项和为，假设那么____

例13:___

例14:函数，在点处连续，那么_____

例15:设，试求的值，使在处可导.

【知识点2】求函数的导数

1.导数的运算的法那么〔和、差、积、商〕

设，均可导，那么

=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶

2.根本导数表

=1\*GB2⑴为常数〕；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；

=5\*GB2⑸；=6\*GB2⑹；=7\*GB2⑺；=8\*GB2⑻；

3.思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的根本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.

例1:求以下函数的导数

=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸；=6\*GB2⑹

例2:，那么等于〔〕

B.C.D.

例3:的导数为〔〕

B.C.D.

例4:设函数，导函数为，那么以下关于导函数的说法正确的选项是〔〕

A.仅有最小值的奇函数

B.既有最大值，又有最小值的偶函数

C.仅有最大值的偶函数

D.非奇非偶函数

例5:记，那么〔〕

A.B.C.D.

例6:二次函数导函数为，，且对任意实数，有，那么的最小值为___

例7:函数，那么的值为_____

【知识点3】复合函数求导

1.复合函数的导数

复合函数的导数与函数，的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积〞，也就是先把当做一个整体，把对求导，再把对求导，这二者的乘积就是复合函数对的导数

例1:求以下函数的导数.

=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷

例2:函数的导数为〔〕

A.B.

C.D.

例3:函数的导数是〔〕

A.

B.

C.

D.

例4:函数的导数为〔〕

A.B.

C.D.

例5:求函数的导数

例6:求函数的导数

【知识点4】导数的几何意义

1.导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率

函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，如下图，过点的切线方程为.同样可以定义曲线在的法线为过点与曲线在的切线垂直的直线.过点的法线方程为

例1：设函数是上以为周期的可导偶函数，那么曲线在处的切线斜率为〔〕

A.B.C.D.

例2:以下各函数在点处没有切线的是〔〕

A.B.

C.