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立足代数思维，学习《简易方程》

算术思维与代数思维有很大的差异，代数思维具有形式化、关系化、结构化的特点。布鲁纳说：“如果一门学科有明确的特征概念可以代表它，那么对这些概念的全面理解也就相当于对整个学科知识的理解。如果一门学科的知识根据某种固定的模式进行组织，那么充分理解这些模式会使适合学科设计的主要特定要素更清晰。”同样地，掌握代数的思维方式，对小学生学习方程及今后系统学习代数知识，发展代数思维，具有战略性的作用。因此，在《简易方程》的学习过程中，要让学生充分感受并学会用关系化思想分析问题，促进其思维从具体运算向形式运算过渡和适应。

一、认识方程：重构方程意义，直抵关系本质

什么是方程？教材给出的形式化定义：含有未知数的等式叫方程。很明显，这样的表述并没有体现方程的价值与本质。因此，在课堂教学中需要引导学生通过反思，去体会方程的本质，重构对方程的理解，对概念的理解从“教学的数学”走向“学科的数学”。

在教授方程的概念时，教师就可引导学生感知方程的价值。如通过对列方程解决问题过程的反思，教师引导学生对方程重新认识与定义。除了及时组织学生对用算术方法解决问题与用方程解决问题进行比较，让学生感悟到“未知数是否参与运算”“是否顺着题目的意思列式子”等，还要让学生结合解决问题的经历，引导学生反思：列方程的依据是什么？方程能直接求出未知数吗？你能用自己的话说说什么是方程吗。这样，对方程的理解与解决具体问题联系起来。学生在反思中感悟到方程只是在表达关系，将题目中的数量关系用含有未知数的等式表达出来就行了，而不需要计算出结果。弗赖登塔尔认为，儿童的思维发展是跳跃性的，没有内省，学生思维就不能实现跳跃而达到一个新的高度。对方程意义的重构，在于重新建立属于学生自己的对方程的认识，以本质去代替形式，对方程的认识达到一个新的高度，思维方式也在发生着改变。

二、解方程：强化运作特质，走向形式运算

（一）抽象模型，反思运作意义

解方程的过程是形式化运作，分别把等号的两边看成对象，这与算术思维不同。很多学生由于受算术思维的影响，不习惯这样的运作。“真正的数学头脑是思维的头脑，是内省的头脑，这也是学校应当教学生的东西。”只有学生意识到每一次运作的目标与意义，他才能理解这样的操作，而不是一種机械行为。反思就是把较低水平的活动看成较高水平活动的分析对象。在教学时，一要引导学生反思对比，解方程的过程与之前的计算过程中等号作用的不同之处，丰富学生对等号作用的认识。二是在进行方程的复习时，在对具体方程模式化表达的基础上，对解法抽象分析从而达到一般化程度，有利于学生的认识与思维更上一个层次。

在复习课上，笔者让学生小组内说一说：对解方程，你有哪些经验值得与同伴分享？笔者让学生举例说出会解哪几种类型的方程？再引导学生通过分类，将所学的方程分为简单的方程与稍复杂的方程两大类。接着引导学生抽象出这些方程的模型。

师：如果用字母表示这些数字，用x表示未知数，你能把这些方程表示出来吗？

学生分别用字母概括出各类方程。

师：像这样的方程，x±a=b，是如何解的？

生：两边同时加a或减a。

师：为什么要同加时或同时减a？

生：抵消，然后x就解出来了。

师：其他的简单方程你会解吗？

生：形如ax±b=c的方程，是在两边同时加或减b，把b消去，转化为基本方程。

生：形如ax±bx=c的方程，是利用分配律进行合并，转化为基本方程的。

师：是的，复杂的方程转化为基本的方程，但是在具体转化方法上面有所区别。

模型的深刻概括性本身对学习就具有数学意义，有利于学生思维水平的提升。而利用模型，进行方法的抽象总结，通过关键性问题：为什么要同时加或减或乘或除a？学生感悟到运作的意义是为了抵消，这样直接说出了解方程的本质。通过比较，发现复杂方程都可以转化成基本方程解决的，强调了转化的方法，突出了运作思维。

（二）顺势而为，体会思维差异

苏教版教材中有意回避了未知数在减数位置和除数位置的方程，因为利用等式的性质解决这两类方程，涉及负数的运算，而小学又不涉及负数的运算，在教学中并不需要刻意回避。当学生在解决问题的过程中用到这样的方程时，因势利导，通过比较，让学生发现异同，从而自己发现错误。在探讨正确的解法时，有的学生提出，可以根据“减数等于被减数减差”直接求出未知数，实际上这是一种“倒过来想”的思路，其本质是算术思维。还有学生想出可以通过两边同加x，转化成加法方程来求解。在对两种方法进行比较的过程中，发现第二种方法其实是巧妙利用了等式的性质，转化为加法方程，这样让学生进一步体会解方程运算的思维特点，把左右两边各看作一个对象，方程表示两个对象的等价，解方程是通过运作进行转化求出未知数，从而体会解方程运作的特点。

三、解决问题：价值引领，基本模型提升能力

（一）数形结合，感受基本模型的魅力

方程的背后是数量关