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概率论的基本概念new课件

REPORTING

目录

概率论简介

随机事件及其概率

条件概率与独立性

随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

随机变量数字特征

大数定律与中心极限定理

PART

01

概率论简介

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WENKUDESIGN

概率论起源于17世纪中叶的欧洲，由帕斯卡、费马等数学家奠定基础。

起源

18世纪贝叶斯、拉普拉斯等数学家对概率论进行了系统与完善，19世纪柯尔莫哥洛夫等建立了现代概率论公理化体系。

发展

目前，概率论已发展成为一门严谨的数学学科，并广泛应用于各个领域。

现状

物理学、化学、生物学等领域中，概率论被用于描述随机现象，揭示自然规律。

自然科学

社会科学

工程技术

经济学、心理学、社会学等领域中，概率论被用于研究不确定性问题，预测社会现象。

通信、计算机、控制等领域中，概率论被用于处理噪声干扰、系统稳定性等问题，优化工程设计。

03

02

01

在一定条件下可以重复进行，且每次试验的可能结果不止一个，但在试验前无法预知确切结果的试验。

随机试验

随机试验中所有可能结果组成的集合，用大写希腊字母Ω表示。

样本空间

样本空间的一个子集，表示某种感兴趣的结果或现象。用大写英文字母A,B,C等表示。

事件

描述随机事件发生可能性的数值，用P(A)表示事件A发生的概率，满足0≤P(A)≤1。

概率

PART

02

随机事件及其概率

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WENKUDESIGN

随机事件的性质

事件的互斥性：两个事件不能同时发生。

事件的完备性：样本空间中所有可能事件都发生了。

事件的独立性：一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

样本空间：所有可能基本事件组成的集合称为样本空间。

事件关系

包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。

相等关系：若事件A与事件B的样本点完全一样，则称事件A与事件B相等。

和事件：两个或多个事件至少有一个发生，则这些事件构成和事件。

积事件：两个或多个事件同时发生，则这些事件构成积事件。

频率法：通过大量重复试验，用某一随机事件出现的频率来近似计算其概率的方法。

几何概型法：适用于样本空间中基本事件的分布具有某种几何形状的情况。

古典概型法：适用于样本空间中等可能基本事件数目有限的情况。

概率定义：用来量化随机事件发生可能性的数值，称为该事件的概率，通常用P(A)表示。

概率计算方法

PART

03

条件概率与独立性

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WENKUDESIGN

条件概率定义

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

条件概率性质

非负性、规范性、可加性。

乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)。

全概率公式

若事件B1,B2,...,Bn是一个完备事件组，则对任一事件A，有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)。

若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。

定义法

利用条件概率性质，若P(B)0，且P(A|B)=P(A)，则称事件A与B相互独立。

概率性质法

PART

04

随机变量及其分布

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WENKUDESIGN

随机变量是样本空间上的实值函数，通常表示为X,Y,Z等，用于描述随机现象的结果。

根据取值类型不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。

随机变量分类

随机变量定义

离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个可能值的概率，通常用表格或公式表示。

分布律定义

常见的离散型分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等，每种分布有其特定的应用场景和性质。

常见离散型分布

分布函数定义

连续型随机变量的分布函数描述了随机变量取某一区间内值的概率，通常用积分表示。

常见连续型分布

常见的连续型分布包括正态分布、均匀分布、指数分布等，每种分布有其特定的应用场景和性质。

PART

05

多维随机变量及其分布

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WENKUDESIGN

设随机试验的样本空间为S={X}，X为一维随机变量，称n个一维随机变量X1,X2,...,Xn构成的向量(X1,X2,...,Xn)为n维随机向量或n维随机变量。

定义

多维随机变量的每个分量都是一维随机变量；多维随机变量(X1,X2,...,Xn)可能取的值全体构成一个多维空间；多维随机变量的取值具有随机性。

性质

联合分布律

设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...，则称pij为随机变量X和Y的联合分布律。

要点一

要点二

边缘分布律

二维离散型随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为p{