中考总复习圆的切线专题.docx

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题型专项(八) 与切线有关的证明与计算

类型1 与全等三角形有关

1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，

D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.

求证：(1)△ACO≌△BDO；

(2)CE＝DF.

证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，

∴∠A＝∠B＝90°.

又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，

∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，

∴OC＝OD.

又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，点O是圆心，

∴EM＝FM.

∴CM－EM＝DM－FM.

∴CE＝DF.

2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB

的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：△CDQ是等腰三角形；

(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．

解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.

∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.

∵CD是⊙O的切线，CO是半径，

∴CD⊥CO.

∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.

∴∠DCQ＝∠Q.

故△CDQ是等腰三角形．

(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝3.

∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，

∴CQ＝CB＝3.

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∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3.

1 1＋3

∴AP＝2AQ＝ 2 .

3－3

∴BP＝AB－AP＝ 2 .

3－1

∴PO＝AP－AO＝ 2 .

∴BP∶PO＝3.

3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.

(1)求证：△PAE∽△PEC；(2)求证：PE为⊙O的切线；

(3)若∠B＝30°，AP 1 ，求证：DO＝DP.

＝2AC

证明：(1)∵PE2＝PA·PC，

∴PE PAPC＝PE.

∴

又∵∠APE＝∠EPC，

∴△PAE∽△PEC.(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.

2∵∠PCE＝1∠AOE，

2

2∴∠PEA＝1∠AOE.∵OA＝OE，

2

∴∠OAE＝∠OEA.

∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，

∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.

∴∠PEA＋∠OEA＝90°.

∴PE为⊙O的切线．

(3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r.

∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝3r.

过点O作OF⊥AC于点F，

∴OF＝3∵AP 1 ，

2r. ＝2AC

r 3

∴AP＝2.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝2r.

在△ODF与△PDE中，更多精品文档

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?∠ODF＝∠PDE，

?∠OFD＝∠PED，

?

OF＝PE，

∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP.

类型2 与相似三角形有关

4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.

判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．

解：(1)AB是⊙O切线．理由：∵∠ACB＝90°，

∴∠CAE＋∠CEA＝90°.

∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA，

∴∠ADF＋∠CDF＝90°.

∴AB是⊙O切线．

(2)连接CF.

∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°，

∴∠ADF＝∠PCF.

∴∠PCF＝∠PAC.

又∵∠CPF＝∠APC，

∴△PCF∽△PAC.

PC PF.

∴PA＝PC

∴PC2＝PF·PA.设PF＝a，则PC＝2a.

∴4a2＝a(a＋5)．

∴a 5

＝3.

∴PC＝2a 10

＝3.

5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E

作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C.(1)求证：PE是⊙O的切线；

求证：ED平分∠BEP；

若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．

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解：(1)证明：连接OE.

∵CD是圆O的直径，

∴∠CED＝90°.

∵OC＝OE，

∴∠C＝∠OEC.

又∵∠PED＝∠C，

∴∠PED＝∠OEC.

∴∠PED＋∠OED＝