一类空间分数阶方程的格子Boltzmann方法.pdf

摘要

摘要

在科学计算和实际应用中，求解分数阶偏微分方程是很重要的一个研究内容。许

多学者对求解分数阶偏微分方程进行了研究。对于空间分数阶偏微分方程，一般来说

求解方法主要分为两类，一类为解析求解，另一类为数值求解。由于只有极少数特殊

的方程可以推出解析解，应用范围并不广泛，因此主要通过数值方法来得到方程的近

似解。而从格子Boltzmann方法（LBM）已取得的进展以及该方法其特有的灵活性上

来看，它将对求解空间分数阶偏微分方程带来了一种新的思想。本文主要是应用格子

Boltzmann方法求解一类Riesz空间分数阶偏微分方程，文章主要分成二个部分。

第一部分，对一维Riesz空间分数阶偏微分方程进行处理，给出了三种处理Riesz

空间分数阶导数的方法，分别为Grünwald–Letnikov逼近方法、复化矩形方法、复化

梯形方法。之后结合Taylor展开、Chapman-Enskog展开，构造D1Q3格子Boltzmann

模型并恢复宏观方程，同时推导出平衡态分布函数，然后进行误差分析，并通过数值

模拟和有限差分法对比，验证了三种算法的有效性。

第二部分，对二维Riesz空间分数阶偏微分方程进行处理，通过Grünwald–

Letnikov逼近方法将两个方向上Riesz空间分数阶导数分别处理。之后在通过

x,y

Taylor展开、Chapman-Enskog展开，构造D2Q9格子Boltzmann模型并恢复宏观方

程，同时推导出平衡态分布函数，然后再进行误差分析，并通过数值模拟，验证了算

法的有效性。

关键词：格子Boltzmann方法Riesz空间分数阶平衡态分布函数数值模拟

I

Abstract

Abstract

Inscientificcomputingandpracticalapplications,solvingfractionalpartialdifferential

equationsisanimportantresearchcontent.Manyscholarshavestudiedsolvingfractional

partialdifferentialequations.Forpartialdifferentialequationsofthespatialfractionalorder,

generallyspeaking,thesolutionmethodsaremainlydividedintotwocategories,oneis

analyticalsolutionandtheotherisnumericalsolution.Sinceonlyafewspecialequations

canbederivedfromanalyticalsolutions,theapplicationrangeisnotextensive,sothe

approximatesolutionoftheequationismainlyobtainedbynumericalmethods.Fromthe

perspectiveoftheprogressmadebythelatticeBoltzmannmethod(LBM)anditsunique

flexibility,itwillbringanewideatosolvepartialdifferentialequationsofthespatial

fractionalorder.ThispapermainlyappliesthelatticeBoltzma