四节多元复合函数求导法则数下.pdfVIP

中间变量为

一元函数

一、复合函数的求导法则(链导法则

)1.zf(u,v),u(t),v(t)的情形.

定理如果函数u(t)及v(t)都在点t可导

函数z,f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,

且

其导数可用下列计算:

dzzduzdv

+.

dtudtvdt

证设t获得增量t

则u(t+t)−(t),v(t+t)−(t);



2

可微zAu+Bv+o()

由于函数zf(u,v)在有连续偏导数

zz

zu+u+v,

12

u

当u→0,v→0时,1→0,

zzuzu

++

u1

dzzzduzdv

当t→u→0,v→0

lim+

dtt→0tudtvdt

uduvdv

→,→,

tdttdt

3

定理推广

三个中间变量

复合函数的多于两个的情况.

如zf(u,v,w),uu(t),vv(t),ww(t)

u

变量树图zvt

w

dzzduzdvzdw