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等腰直角三角形在解题中的应用

等腰直角三角形在解题中的应用

等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形,它集等腰三角形和直角三角形的性质于一身,此

外还形成了自己的独特性质,正是等腰直角三角形的这些特殊性质,使其应用非常的广泛•

下面就其应用作出归纳,供学习时借鉴•

1.直角顶点在正方形的中心旋转生成等腰直角三角形

例1(2018?遵义)如图1,正方形ABCD勺对角线交于点0,点E、F分别在ABBC±(AE

VBE),且/EOF=90,0EDA的延长线交于点M,OFAB的延长线交于点N,连接MN

(1)求证:OM=ON

(2)若正方形ABCD勺边长为4,E为0M的中点,求MN的长.

解析:(1)因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OB/DAO=45,/OBA=45,

所以/OAMWOBN=135,因为/AOM乂BOM9O。,/BON丄BOIM90。,所以/AOMMBON所

以△OAIWAOBN(ASA,所以OM=O;

(2)如图1,过点O作OHLAD于点H,因为正方形的边长为4,所以OH=HA=AM=2

解法1:

因为E为OM的中点,所以HM=4则OM=—承=2J5,所以MNpOM=210.

解法2:因为△OAIWAOBN所以AM=BN=2所以AN=AB+BN=6,

所以MN==2J0.

2262

点评:第一问的解答抓住一个要点即充分利用已知的直角和正方形对角线构成的直角,构造

符合同角的余角相等的原理等式,为三角形的全等提供一个有力的“角”要素•

第二问实质是不论三角形MOF怎样运动,三角形MON都是等腰直角三角形,这一点很重要•在求斜

边MN的长时,可以选择不同方法,为变式思维训练提供“场所”

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等腰直角三角形在解题中的应用

2.直角三角形在平移中生成等腰直角三角形

例2(2018?呼和浩特)如图2,已知正方形ABCD点M是边BA延长线上的动点(不与点A重

合),且AMkAB,ACBE由厶DAM平移得到.若过点E作EFUAC,H为垂足,则有以下结论:

①点M位置变化,使得/DHC=60时,2BE=DM②无论点M运动到何处,都有HM

③无论点M运动到何处,/CHMP定大于135°.其中正确结论的序号为______________.

n

解析:由题可得,AM=BE所以AB=EM=AD因为四边形ABCD是正方形,EH1AC,

所以/AHE=90,/MEHMDAHMEAH=45°,所以EH=AH所以△MEH^ADAH(SAS,所以/

MHEMDHAMH=DH所以/MHDMAHE=90,所以△DHM是等腰直角三角形,

所以DM=/2HM所以②正确;

当/DHC=60时,由/HCD45°,得/HDC=5°,所以/HDA=5

所以/ADM=45-15°=30°,所以在Rt△ADM中,DM=2AM即卩DM=2BE所以①正确;

因为/CHM是△HAM的一个外角,且/HAM=35°,根据三角形的外角大于任何一个不相邻的内

角,所以MCHWMHAM所以/CHW135°,所以③正确;所以答案为:①②③.

点评:表面看是两个直角三角形在平移运动,细心观察,才发现还有两个更特殊的等腰直角

三角形在背后助阵,一个是等腰直角三角形AHE一个是等腰直角三角形DHM且它们的形

状不会因为点M的变化而改变,多么奇妙的组合.

3.矩形中延长线段生成等腰直角三角形

例3

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