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完整版)高中数学复数练习题

高中数学《复数》练题

一、基本知识：复数的基本概念

1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位

为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b

叫做虚部。

2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复

数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚

数。

3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，

b，c，d，∈R）。特别地a+bi=0⟺a=b=0.

4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；

5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）

6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的

模；

二、复数的基本运算：

设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i

1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；

3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。特别z·z=a²+b²。

4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以

此类推。

三、复数的化简

把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实

数化的方法将分母化为实数：

z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)

四、例题分析

例1】已知z=a+1+(b-4)i，求

1)当a,b为何值时z为实数

2)当a,b为何值时z为纯虚数

3)当a,b为何值时z为虚数

4)当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象

限。

变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值

为A。-1B。1C。0D。-1或1

例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时

z1=z2

例3】已知z=1-i，求z，z·z；

变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z

变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？

例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i

1)求z1+z2

2)求z1·z2

2.已知复数$z$满足$(z-2)i=1+i$，求$|z|$。

解：移项得$z=2+\frac{1+i}{i}=2-1-i=-1-i$，因此

$|z|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$。

3.若复数$1+ai$是纯虚数，求复数$1+ai$的模。

解：由题意得$(1+ai)i=-a+1i$是纯虚数，即$a=0$。因此，

$|1+ai|=\sqrt{1^2+0^2}=1$。

4.已知$\frac{a+3i}{1-2i}$，其中$a\in\mathbb{R}$。

1）若$z$为实数，求$a$的值。

解：由题意得$\frac{a+3i}{1-2i}=a+bi$，其中

$b\in\mathbb{R}$。将分式化为通分形式，得$\frac{a+3i}{1-

2i}=\frac{(a+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{a+6+3i}{5}$，从而

$a+6=5a$，解得$a=2$。

2）当$z$为纯虚时，求$a$的值。

解：当$z$为纯虚时，$\frac{a+3i}{1-2i}=bi$，即$a+3i=-

2b+bi$，解得$a=-2b$。代入$\frac{a+3i}{1-2i}$中，得

$\frac{a+3i}{1-2i}=\frac{-2b+3i}{5}$。因为分母为实数，分子

为虚数，所以$-2b=0$，从而$a=