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完整版)高中数学复数练习题

高中数学《复数》练题

一、基本知识:复数的基本概念

1.形如a+bi的数叫做复数(其中a,b∈R);复数的单位

为i,它的平方等于-1,即i²=-1.其中a叫做复数的实部,b

叫做虚部。

2.实数:当b=0时复数a+bi为实数;虚数:当b≠0时的复

数a+bi为虚数;纯虚数:当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚

数。

3.两个复数相等的定义:a+bi=c+di⟺a=c且b=d(其中,a,

b,c,d,∈R)。特别地a+bi=0⟺a=b=0.

4.共轭复数:z=a+bi的共轭记作z=a-bi;

5.复平面:z=a+bi,对应点坐标为p(a,b);(象限的复)

6.复数的模:对于复数z=a+bi,把z²=a²+b²叫做复数z的

模;

二、复数的基本运算:

设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i

1.加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;

2.减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;

3.乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。特别z·z=a²+b²。

4.幂运算:i¹=i,i²=-1,i³=-i,i⁴=1,i⁵=i,i⁶=-1……以

此类推。

三、复数的化简

把c+di(a,b是均不为0的实数)的化简就是通过分母实

数化的方法将分母化为实数:

z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)

四、例题分析

例1】已知z=a+1+(b-4)i,求

1)当a,b为何值时z为实数

2)当a,b为何值时z为纯虚数

3)当a,b为何值时z为虚数

4)当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象

限。

变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值

为A。-1B。1C。0D。-1或1

例2】已知z1=3+4i,z2=(a-3)+(b-4)i,求当a,b为何值时

z1=z2

例3】已知z=1-i,求z,z·z;

变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i),则求z的共轭z

变式2】已知复数z=3+i,则z·z=?

例4】已知z1=2-i,z2=-3+2i

1)求z1+z2

2)求z1·z2

2.已知复数$z$满足$(z-2)i=1+i$,求$|z|$。

解:移项得$z=2+\frac{1+i}{i}=2-1-i=-1-i$,因此

$|z|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$。

3.若复数$1+ai$是纯虚数,求复数$1+ai$的模。

解:由题意得$(1+ai)i=-a+1i$是纯虚数,即$a=0$。因此,

$|1+ai|=\sqrt{1^2+0^2}=1$。

4.已知$\frac{a+3i}{1-2i}$,其中$a\in\mathbb{R}$。

1)若$z$为实数,求$a$的值。

解:由题意得$\frac{a+3i}{1-2i}=a+bi$,其中

$b\in\mathbb{R}$。将分式化为通分形式,得$\frac{a+3i}{1-

2i}=\frac{(a+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{a+6+3i}{5}$,从而

$a+6=5a$,解得$a=2$。

2)当$z$为纯虚时,求$a$的值。

解:当$z$为纯虚时,$\frac{a+3i}{1-2i}=bi$,即$a+3i=-

2b+bi$,解得$a=-2b$。代入$\frac{a+3i}{1-2i}$中,得

$\frac{a+3i}{1-2i}=\frac{-2b+3i}{5}$。因为分母为实数,分子

为虚数,所以$-2b=0$,从而$a=

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