小波分析方法解偏微分方程市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptxVIP

小波分析办法解偏微分方程;小波分析基本知识

背景知识

多分辨分析

惯用小波

偏微分方程数值解法

差分办法

有限元办法

拟谱办法

自适应格点办法

小波分析办法解偏微分方程

;小波分析基本知识;从事调和分析研究Caldenon(1964)原子分解；物理学界从事量子力学研究AslaKsen和Klander(1968)所结构(ax+b)-群相干态;

Strombery构结构了第一个小波基：该小波呈指数衰减并在.第二个例子是Meyer基（Meyer1985）,此处是紧支且属于;

Tchamitchian(1987)结构了第一个双正交小波基;

Meyer,Mallet(1988)结构多分辨分析理论;

Daubechies(1988)小波;

B.Alpert,Legendre小波(1990).;多分辨分析

;Daubchies小波

;性质

为线性组合;

结论:;Legendre小波

;Legendre小波性质

分段多项式；

区间小波；

不连续;

消失矩特性；

多小波特性.;迫近分析

Sobolev空间

Holder类

;Besov空间

;讨论偏微分方程类型;此处为线性部分,为非线性部分.

比如

reaction-diffusion方程

Burgers’方程

Korteweg-deVries方程

Navier-Stokes方程能够转化为这类型

;处理方向:

微分算子计算或表示

时间差分离散

边界处理

收敛性分析

误差预计

稳定性分析

微分算子自适应计算

时间和空间自适应计算;偏微分方程数值解法;比如

向前差分格式

向后差分格式,为隐格式.

六点对称格式(Crank-Nicolson格式),误差阶为

;有限元办法;变分形式:

Findsuchthat

;结构基函数

矩阵条件数处理.

迫近分析

;小波分析办法;解这类方程主要一步为时间离散.由于进化方程扩散项,原则显格式允许小时间步长.另外,隐格式允许大时间步长,但在每一步得解线性方程组,这就给应用带来了困难.

B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-)

用办法:Wavelet-Galerkinmethod,Taylor-Galerkinmethod,配点办法,非原则小波表示.

JohnWeiss用小波Galerkin办法(Daubechies,1992,1993).用是时间差分,空间离散.计算比较复杂,但精度好.;小波Galerkin办法

Galerkin配点办法:通过投影将连续算子离散化为矩阵形式,此办法困难在于二重积分数值计算;

为处理这困难,研究者提出了函数基用小??基,此办法被称为小波Galerkin办法.

在作数值迫近计算时,由于用了小波基,因此诸多算子可用稀疏矩阵表示,那么小波Galerkin办法就为作快速数值计算提供了算法.总来说,小波Galerkin办法在作迫近分析时比Adomian分解办法更可靠,在作数值迫近计算时比Galerkin办法速度更快.

算法复杂性为

;半群办法

非原则小波表示:

有限周期多分辨分析

那么算子非原则表示可由系列算子构成

;线性算子迫近

;;;

;;第26页;;

;;

;用非原则表示办法解偏微分方程长处:

算子矩阵稀疏,可用Fourier变换处理,矩阵条件数得到控制;

算法复杂性为;

自适应算法复杂性为.

比如:

两个算法:算子作用在函数自适应,函数逐点内积自适应.

;能够得到数值解

Burgers’方程迫近到阶为

;另外,得分析稳定性;

不同小波基础误差预计;

时间空间自适应.

Legendre多小波非标准表示优点:

算子矩阵稀疏;

子区间元素相同;

维数低;

可线性化非线性项.

;Legendre多小波不连续,微分算子处理办法:

通过尺度方程导出系数方程组,解此方程组可得到算子矩阵;用老式弱导数通过积分计算算子矩阵.

此小波处理边界有优势.

;边界处理?

结构多分辨分析,使得小波基满足边界条件.

用插值小波,配点办法.

变系数处理?

时间空间自适应?

;

谢谢大家!;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;