极限的存在准则课件.pptx

极限的存在准则课件极限的定义与性质极限的存在准则极限存在准则的应用极限存在准则的例题解析极限存在准则的练习题总结与回顾01极限的定义与性质极限的基本定义极限的概念对于一个函数f(x)，如果当x趋近于某一值x0时，f(x)的值无限接近于一个确定的数A，则称A为f(x)在x趋近于x0时的极限。极限的数学表示limf(x)=A，其中x-x0。极限的性质唯一性局部保号性局部有界性如果函数f(x)在x趋近于x0时有极限A，则这个极限是唯一的。如果函数f(x)在x趋近于x0时的极限为A，则对于任何满足xx0的x，有f(x)f(x0)，或者对于满足xx0的x，有f(x)f(x0)。如果函数f(x)在x趋近于x0时的极限为A，则存在一个与x0充分接近的点x1，使得在x1的邻域内，f(x)有界。极限存在条件的说明函数在某一点处有极限需要满足的条件函数在某一点处有极限需要满足的条件是函数在该点的去心邻域内单调且有界。无穷大量与无界量当一个函数的极限为无穷大量或无界量时，这个函数在对应点处的极限不存在。02极限的存在准则极限存在准则一：单调有界定理总结词单调有界定理是微积分学中的基本定理之一，它提供了判断一个数列或函数极限存在的充分条件。详细描述单调有界定理指出，如果一个数列从某项开始单调递增或递减，并且上界或下界有限，则该数列一定收敛，且收敛于上界和下界的平均值。极限存在准则二：Cauchy收敛准则总结词Cauchy收敛准则是判断函数极限存在的又一重要准则。详细描述Cauchy收敛准则指出，如果函数f(x)在区间(a,b)内，对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得在区间(a,b)内，只要|x-y|δ，就有|f(x)-f(y)|ε，则称函数f(x)在区间(a,b)内收敛于A。极限存在准则三总结词Weierstrass逼近定理是微积分学中的又一基本定理，它表明有界闭区间上的连续函数可由多项式逼近。详细描述Weierstrass逼近定理指出，如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，则对任意给定的正数ε，总存在一个多项式p(x)，使得在区间[a,b]内，|f(x)-p(x)|ε。03极限存在准则的应用利用极限存在准则证明数列的收敛性极限存在准则2对于递增数列，若其每项都小于M，则其极限小于M；对于递减数列，若其每项都大于m，则其极限大于m。极限存在准则1对于单调有界数列，其极限必然存在。应用示例利用极限存在准则证明给定数列收敛于A，首先需要证明数列是单调有界的，然后根据极限存在准则得出结论。利用极限存在准则解决实际问题应用示例1在经济学中，极限存在准则可以用于研究货币供应量随着时间的变化情况，从而为货币政策制定提供依据。应用示例2在物理学中，极限存在准则可以用于研究物体的运动规律，例如利用重力的作用下的自由落体运动。利用极限存在准则进行误差分析误差来源1误差来源3近似计算中的误差。模型假设误差。误差来源2误差分析方法测量中的误差。利用极限存在准则对误差进行定量分析，找出误差的来源和大小，为提高近似计算的精度提供指导。04极限存在准则的例题解析单调有界定理的例题解析0102030405总结词详细描述例题1例题2例题3单调有界定理是极限存在的重要准则，通过判断序列的单调性和有界性，可以证明极限的存在。单调有界定理表述为“如果一个序列在一个区间上单调且有界，则该序列收敛于该区间的一个端点或该区间内的一点”。这个定理的证明和应用可以通过一系列的例题来加深理解。证明序列$a_n=\frac{1}{n}$是收敛的。证明序列$b_n=n^2$是发散的。证明序列$c_n=\sqrt{n}$是收敛的。Cauchy收敛准则的例题解析0102030405总结词详细描述例题1例题2例题3Cauchy收敛准则是极限存在的另一个重要准则，通过判断序列的Cauchy性质，可以证明极限的存在。Cauchy收敛准则表述为“如果一个序列在任何给定的正数$\varepsilon$下都有一个有限的$N$，使得当$nN$时，序列中任意两项的差都不超过$\varepsilon$，则该序列收敛”。这个准则的证明和应用同样可以通过一些例题来加深理解。证明序列$d_n=\frac{1}{n}$是收敛的。证明序列$e_n=n^2$是发散的。证明序列$f_n=\sqrt{n}$是收敛的。Weierstrass逼近定理的例题解题1总结词详细描述例题2使用Weierstrass逼近定理证明$\sin(x)$可以被多项式逼近。Weierstrass逼近定理是函数分析中的一个重要定理，它表明任何连续函数都可以被多项式逼近。Weierstrass逼近定理表述为“如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则对于任意给定的正数$