高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试学业分层测评8.docxVIP

学业分层测评(八)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列说法中正确的个数是()

①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；

④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；

⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】对①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.

【答案】B

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()

A．平面DD1C1C

B．平面A1DCB1

C．平面A1B1C1D1

D．平面A1DB

【解析】连接A1D、B1C，由ABCD-A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.

【答案】B

3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()

A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β

C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ

【解析】B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．

【答案】A

4．如图1-6-11，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()

图1-6-11

A．60°

B．30°

C．45°

D．90°

【解析】∵AB为直径，∴AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，PC平面PAC，

∴PC⊥BC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，

又PA＝AC，∴∠ACP＝45°.

【答案】C

5．在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E、F、G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()

图1-6-12

A．平面EFG∥平面PBC

B．平面EFG⊥平面ABC

C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

【解析】由三角形的中位线的性质可证EG∥BC，FG∥PC，进而可证平面EFG∥平面正确，由PC⊥BC，PC⊥AC可证PC⊥平面ABC，又因为PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面正确，因为E、F分别为所在棱的中点，所以EF∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，D错误，因为AB与平面EFG不垂直．

【答案】D

二、填空题

6．如图1-6-13，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．

图1-6-13

【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.

∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.

【答案】垂直

7．如图1-6-14所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．

图1-6-14

【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\al(PA⊥平面ABC,BC平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\al(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC

?BC⊥PC，

∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.

【答案】4个

8．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．

【解析】如图所示，设正四面体A-BCD的棱长为1，顶点A在底面上的射影为O，连接DO，并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，

∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成的二面角的平面角．

在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，

∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).

【答案】eq\f(1,3)

三、解答题

9．如图1-6-15，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.

图1-6-15

【证明】设AC∩BD＝O，连接OE.

因为O为AC中点，E为PA的中点，

所以EO是△PAC的中位线，

EO∥PC.

因为PC⊥平面ABCD，

所以EO⊥平面ABCD.

又因为EO平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABCD.

10.如图1-6-1