微专题12 数列中的不等式证明及放缩问题.pptxVIP

上篇板块二数列XXX学校微专题12数列中的不等式证明及放缩问题

01.题型聚焦分类突破

核心归纳类型一关于数列项的不等式证明(1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题.

类型二对求和结论进行放缩对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式.核心归纳

例2已知数列{an}满足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；

训练2(2022·广州模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，－an＋1，an，an＋2成等差数列.等差数列{bn}满足b1＝a2＋1，2b5－3b2＝a3－3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；解设等比数列{an}的公比为q(q0)，因为－an＋1，an，an＋2成等差数列，所以2an＝an＋2－an＋1，所以2an＝an·q2－an·q.因为an0，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，又a1＝2，所以an＝2n(n∈N*).设等差数列{bn}的公差为d，由题意，得b1＝a2＋1＝5，由2b5－3b2＝a3－3＝5，得2(b1＋4d)－3(b1＋d)＝－b1＋5d＝－5＋5d＝5，解得d＝2，所以bn＝b1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3(n∈N*).

类型三对通项公式放缩后求和核心归纳在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明.

例3(2022·济南模拟)在数列{an}中，a1＝2，2nan＋1＝(n＋1)·an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；

训练3已知数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋2n(n∈N*).(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的前n项和Sn，

类型四求和后利用函数的单调性证明数列不等式核心归纳若所证的数列不等式中有等号，常考虑利用数列的单调性来证明.

例4已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an－Sn＝1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；解已知2an－Sn＝1，令n＝1，解得a1＝1，当n≥2时，2an－1－Sn－1＝1(n∈N*)，两式相减得an＝2an－1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1(n∈N*).

训练4已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求使不等式an≥0成立的最大自然数n；

01.高分训练对接高考

一、基本技能练

2.(2022·石家庄模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，a2＝4，Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn－2(n≥2). (1)证明：数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；所以数列{an－2}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an－2＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝2＋2n－1(n∈N*).

二、创新拓展练4.(2022·湖州质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；解∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4，当n≥2时，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an.由题意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4，∴数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4，∴a2k－1＝2＋4(k－1)＝2(2k－1)，a2k＝4＋4(k－1)＝2·2k，∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2.综上可知，an＝2n，n∈N*.

本节内容结束班级：一年级三班主讲人：王小军老师THANKS