高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试学业分层测评9.docxVIP

学业分层测评(九)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2023·葫芦岛模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则()

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

【解析】由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β.

由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l.

【答案】D

2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()

①eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m∥n,m⊥α))?n⊥α； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m⊥α,n⊥α))?m∥n；

③eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m⊥α,n∥α))?m⊥n; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m∥α,m⊥n))?n⊥α.

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．

【答案】C

3．(2023·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

【解析】A，B，D中，m与平面α可能平行、相交或m在平面α内；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，而n⊥α，所以m⊥α.故选C.

【答案】C

4.(2023·蚌埠高一检测)如图1-6-29，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()

图1-6-29

A．线段B1C

B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段

D．BC中点与B1C1中点连成的线段

【解析】连接AC，PC，

∵BD1⊥AC，BD1⊥AP，

∴BD1⊥平面APC，

∴BD1⊥PC，而在平面BCC1B1中，BD1⊥B1C，

∴P在线段B1C上运动，即点P的轨迹是线段B1C.

【答案】A

5．如图1-6-30，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是()

【导学号

图1-6-30

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

【解析】如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.

【答案】D

二、填空题

6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．

【解析】过a作平面γ与平面α相交于a′.

∵a∥α，∴a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.

又α⊥β且α∩β＝AB，a′α，∴a′⊥β，∴a⊥β.

【答案】a⊥β

7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，则CD的长为______cm.

【解析】如图，连接AD，CD.

在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，

∴AD＝eq\r(122＋42)＝4eq\r(10)cm.

又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，

∴CA⊥β，

∴△CAD为直角三角形，

∴CD＝eq\r(CA2＋AD2)＝eq\r(32＋42×10)

＝eq\r(169)＝13(cm)．

【答案】13

8．如图1-6-31，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________．

图1-6-31

【解析】如图，取BD的中点E，连接AE、CE.

由AB＝AD，得AE⊥BD.

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

AE平面ABD，

∴AE⊥平面BCD，

∴EC为AC在平面BCD上的射影，

∠ACE即为AC与平面BCD所成的角．

∵在Rt△BCD中，E为BD的中点，

∴CE＝BE.

又AE＝BE，

∴在Rt△ACE中，AE＝CE，

∠ACE＝45°.

∴AC与平面BCD所成的角为45°.

【答案】45°

三、解答题

9．如图1-6-32三棱锥P-ABC中