高中物理竞赛话题4曲率半径问题.docx

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话题4：曲率半径问题

一、曲率半径的引入

在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。因为在 t 0的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。

对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整

条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说，我们在

处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代

曲”。可以通过曲线上一点A与无限接近的另外两个相邻点作一

A

圆，在极限情况下，这个圆就是A点的曲率圆。

二、曲线上某点曲率半径的定义

在向心加速度公式a v2中 为曲线上该点的曲率半径。

n

圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了对 意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。

曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率k是用来描述曲线弯

1

曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径 越小，且

线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。

二、曲线上某点曲率半径的确定方法

。这就是说，曲

k

1、从向心加速度a

n

的定义式a

n

v2出发。

将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v和法向加速度a，再利用a v2

n n

求出该点的曲率半径 。

例1、将1kg的小球从A点以10m/s的初速度水平抛出，

A v

0

设重力加速度g?10m/s2，求：

(1)

在抛出点的曲率半径；

? B

a a

n t v

(2)抛出后1s时的曲率半径。 g

解析:(1)初时在A点向心加速度a

n

?g?10m/s2，方向竖直向下，所以小球在曲线上A

点的曲率半径?

A

?10m

(2)如图，抛出后1s时到达B点，切向速度v?10 2m/s，??450.

向心加速度a

n

?gcos450?5 2m/s2

小球在B点的曲率半径?

B

?20 2m

(1?y?2)2y?32、已知曲线y

(1?y?2)2

y?

3

可得某点曲率半径。

证明：对于任意曲线y?f(x)，均可理解为x方向的匀

y a

速直线运动及y方向的变速运动的叠加。 y

?

d2y d2y dx2 v

a ?0 a ?

x y

dt2

?

dx2

?

dt2

?y??v2

0

v ?v

x 0

v ?dy?dy?dx?y??v O

?xy dt dx dt 0

?

x

1

如图，速度v沿切向，v? v2?v2

?(1?y?2)2v

a ?acos?? ay

n y 1?tan2?

x y o

1? ay

1

(1?y?2)2

v2a??

v2

a

v2(1?y?2)

0

?(1?y?2)2

320?n y? v y

3

2

0

?

1

(1?y?2)2

例2、筑路工人把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑到山下。如索道形状为

x2?4ay的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量m的质点。求箩筐自x?2a处自由滑至抛物线顶点时箩筐对钢索的压力大小。

解析：如图所示，建立坐标系，钢索呈顶点为坐标原

y

点O、开口向上的抛物线。箩筐自x?2a处自由滑至

抛物线顶点时速度大小v? 2ga，方向沿?x方向。

a

抛物线x2

?4ay上任意点的曲率半径

v O 2a x

v2a(1

v2

a

(1?y?2)2y?

3

?? ? ?

n

(1?( )2)2

2a

1

2a

在原点O，x?0，所以??2a。而此时F?mg?mv2

?

，所以F?2mg。

3、矢量分解法求椭圆

半轴分别为a和b)。

x2?y2a2 b2

?1的长轴与短轴端点的曲率半径(已知长半轴和短

vAaBMA1M

v

A

a

B

M

A

1

M

1

B

这个运动在M平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两

1

平面间夹角

??a