高等数学练习题.docx

《高等数学》

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一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）

（ ）1.收敛的数列必有界.

（ ）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.

（ ）3.闭区间上的间断函数必无界.

（ ）4.单调函数的导函数也是单调函数.

（ ）5.若f(x)在x点可导，则f(x)也在x点可导.

0 0

（ ）6.若连续函数y?f(x)在x点不可导，则曲线y?f(x)在(x,f(x))点没有切

0 0 0

线.

（ ）7.若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上连续.

（ ）8.若z?f(x,y)在（x,y）处的两个一阶偏导数存在，则函数z?f(x,y)在

0 0

（x,y）处可微.

0 0

（ ）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

（ ）10.设偶函数f(x)在区间(?1,1)内具有二阶导数，且 f?(0)?f?(0)?1,则

f(0)为f(x)的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1.设f(x?1)?x2，则f(x?1)? .

1

2.若f(x)?2x

1

2x

?1，则lim? .

?1 x?0?

3. 设单调可微函数f(x)的反函数为g(x), f(1)?3,f?(1)?2,f?(3)?6则

g?(3)? .

设u?xy?x,则du? .

y

1

曲线x2?6y?y3在(?2, 2)点切线的斜率为 .

6.设f(x)为可导函数,f?(1)?1,F(x)?f(1

x

)?f(x2),则F?(1)? .

7.若?f(x)t2dt?x2(1?x),则f(2)? .

0

8. f(x)?x?2

广义积分???

0

在[0,4]上的最大值为 .

xe?2xdx? .

x

设D为圆形区域x2?y2?1,?? y 1?x5dxdy? .

D

三、计算题（每题5分，共40分）

1.计算lim(1?

n??n2

1

(n?1)2

??? 1 ).

(2n)2

2.求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3??(x?10)10在（0，+?）内的导数.

求不定积分??1

x(1?x)

dx.

计算定积分??

0

sin3

x?sin5xdx.

求函数f(x,y)?x3?4x2?2xy?y2的极值.

设平面区域D是由y? x,y?x围成，计算?? sinydxdy.

y

D

计算由曲线xy?1,xy?2,y?x,y? 3x围成的平面图形在第一象限的面积.

求微分方程y??y?2x的通解.

y

四、证明题（每题10分，共20分）

1?x2证明：arctanx

1?x2

(???x???).

2

设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)?0,

F(x)??x

0

f(t)dt??x 1 dt

b f(t)

证明：方程F(x)?0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）

1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1.x2?4x?4； 2. 1； 3. 1/2； 4.(y?1/y)dx?(x?x/y2)dy；

3365. 2/3； 6.1； 7. ； 8. 8； 9. 1/2；

336

三、计算题（每题5分，共40分）

n?1

解：因为

(2n)2

?1? 1

n2 (n?1)2

?L? 1 ?

(2n)2

n?1n2

且 limn?1

n??(2n)2

?0，limn?1=0

n?? n2

由迫敛性定理知：lim(1

n??n2

? 1

(n?1)2

??? 1(2n)2

)=0

2.解：先求对数lny?ln