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第四章 常微分方程

§4．1 基本概念和一阶微分方程

甲 内容要点

一．基本概念

常微分方程

含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。

微分方程的阶

微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶

微分方程的解、通解和特解

满足微分方程的函数称为微分方程的解；

通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；

不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。

微分方程的初始条件

要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。

积分曲线和积分曲线族

微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。

线性微分方程

如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。

二．变量可分离方程及其推广

变量可分离的方程

方程形式：dy?P?x?Q?y?

dx

?Q?y??0?

通解?

dyQ?y?

??P?x?dx?C

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）

方程形式：M?x?N?y?dx?M ?x?N?y?dy?0

1 1 2 2

通解?M

?x?

?N?y?

? ??

?? ?

M1?x

2

?dx?

N2?y

1

?dy?C

M x ?0,N y ?0

2 1

变量可分离方程的推广形式

dy

（1）齐次方程

?f?y?

? ?令y?u，

? ?

x

dx ?x?

则dy?u?xdu

?f?u?

dx dx

? du

??dx

c?ln|x|?c

f?u??u x

（2）dy?f?ax?by?c??a?0,b?0?

dx

令ax?by?c?u，

则du?a?bf?u?dx

?du????dx?x?c

?

a?bfu

dy ?ax?by?c ?

（3）

dx

?f? 1 1 1?

?ax?by?c ?

2 2 2

a b

?ax?b

y?c ?0 ? ?

①当?? 1

a

2

1?0情形，先求出?1

?b a

?

2 2

1

x?b

2

1

y?c

2

?0的解

?,?

令u?x??，v?y??

?a ?bv?

dv ?au?bv?

? ?

1 1u

? ?则 ?f? 1 1 ??f

? ?

?属于齐次方程情形

?v

?

?du au?bv

?

2 2

?a ?b ?

? 2 2u?

1②当??a

1

a

2

b ?0情形，

1b

1

2

令a2?b2??

a b

1 1

dy ? a

x?by?c ?

?则 ?f???1

?

1 ? 1 ?

dx ?

ax?by?c

1 1 2

令u?a

1

x?by，

11

1

du dy

?u?c ?

则 ?adx 1

b ?a

1dx 1

bf?

1 ?

u?c ?

??2

?

?

属于变量可分离方程情形。三．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程

dy?P?x?y?0

dx

它也是变量可分离方程，通解公式y?Ce??P?x?dx，（c为任意常数）

一阶线性非齐次方程

dy?P?x?y?Q?x?

dx

用常数变易法可求出通解公式令y?C?x?e??P?x?dx

?代入方程求出C?x?

?

?? ?? ?? ?

则得y?e??P

xdx?Q

xe?P

xdxdx?C

贝努利方程

dy?P?x?y?Q?x?y????0,1?

dx

令z?y1??

把原方程化为dz??1???P?x?z??1???Q?x?

dx

再按照一阶线性非齐次方程求解。

方程：dy??1

dx Q?y??P?y?x

可化为dx?P?y?