高考导数解答题中常见的放缩大法.docx

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法

相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了 如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的

结论

x⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与

x

原点连线斜率小于1.

⑵ex?x?1⑶x?ln(x?1)⑷lnx?x?ex,x?0.

将这些不等式简单变形如下：

1 1

1? ?lnx?x?1,ex?x?1,ex?ex,lnx?? 那么很多问题将迎刃而解。

x ex

例析：（2018年广州一模）设f(x)?ax?lnx?1,若对任意的x?0,f(x)?x?e2x恒成立，求

a的取值范围。

放缩法：由ex

?x?1可得：

e2x

?lnx?1?xex?(lnx?1)?e2x?lnx?(lnx?1)?2x?lnx?1?(lnx?1)?2

x x x x

高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。第一组：对数放缩

（放缩成一次函数）lnx?x?1，lnx?x，ln?1?x??x

（放缩成双撇函数）lnx?1?x?1??x?1?，lnx?1?x?1??0?x?1?，

lnx?

? ?

2x2x? ?

2

x

2

x

xxx? 1 ?x?1?，lnx? ?

x

x

x

? ?

? ?

x1 ?0?x?1?，

x

（放缩成二次函数） lnx?x2?x ， ln?1?x??x?1x2??1?x?0? ，

2

ln?1?x??x?1x2?x?0?

2

（放缩成类反比例函数）lnx?1?1，lnx?

2?x?1??x?1?，lnx?

2?x?1??0?x?1?，

x x?1 x?1

ln?1?x?? x ，ln?1?x?? 2x?x?0?，ln?1?x?? 2x?x?0?

1?x 1?x 1?x

第二组：指数放缩

?（放缩成一次函数）ex?x?1，ex?x，ex?ex，

?

1

（放缩成类反比例函数）ex?1?x

?x?0

?，ex??

1x

1

x?0?，

1

（放缩成二次函数）ex?1?x?2x2

第三组：指对放缩

ex?lnx??x?1???x?1??2

?x?0?

1 1

，ex?1?x?2x2?6x3，

第四组：三角函数放缩

.sinx?x?tanx?x?0?，sinx?x?1x2，1?1x2?cosx?1?1sin2x

.

2 2 2

第五组：以直线y?x?1为切线的函数

1

y?lnx，y?ex?1?1，y?x2?x，y?1? ，y?xlnx.

x

拓展阅读：为何高考中总是考ex和

拓展阅读：为何高考中总是考ex和lnx这些超越函数呢？因为高考命题专家是大学老师，

他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，但

是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学

中的泰勒公式。即从某个点x0处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中

的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把超

越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：