高考复数知识点精华总结.docx

复 数

1．复数的概念：

虚数单位i；

复数的代数形式z=a+bi，(a,b∈R)；

复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2．复数集

? ? ?整 数

??

?

实数(b?0)

有 理 数

?分 数

? ? ?

复数a?bi(a,b?R)? ?无理数(无限不循环

小数)

? ?

? ? 纯

虚 数(a?0)

??? 虚 数(b?0)

?

?

?

?非纯

虚 数(a?0)

复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i

分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

z (aa ?bb

)?(ab?ab)i

1? 12 12

21 12

除法：z a

2?b2 ；

2 2 2

四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

特殊复数的运算：

① in(n为整数)的周期性运算； ②(1±i)2=±2i；

31

3

③若ω=-2+ 2 i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则z?a?bi，z?z为实数，z?z为纯虚数(b≠0).

a2?b2（2）复数z=a+bi的模|Z|= ,且z?z?|z|2=a

a2?b2

根据两个复数相等的定义，设 a, b, c, d∈R，两个复数 a+bi 和 c+di 相等规定为

? ???a?c ?a?

? ?

a+bi=c+di ?b?d.由这个定义得到a+bi=0? ?b?0.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=

－1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a－bi)=a2+b2

复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即

a?bi?(a?bi)(c?di)?ac?bd?(bc?ad)i

c?di (c?di)(c?di) c2?d2 .

复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

（二）典型例题讲解1．复数的概念

例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？

解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，

∴ （1）m=1时，z是实数； （2）m≠1时，z是虚数；

??m?1?0

?

当?m?1?0时，即m=－1时，z是纯虚数；

??m?1?0

?

当?m?1?0时，即m－1时，z对应的点Z在第三象限。例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.

??2x?1?y 5

?

解：根据复数相等的意义，得方程组?1??(3?y)，得x=2,y=4.

2m2?3m?2

例4．当m为何实数时，复数z＝ m2?25 +(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

?m2?3m?10?0

?

（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即?解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

m2?25?0 ，

?m2?3m?10?0

?

（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即?

m2?