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2013高考数学常见难题大盘点:立体几何
如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=3,BC=4,AA=4,点D是AB的中点, (I)求
111 1
证:AC⊥BC; (II)求证:AC//平面CDB;
1 1 1
解析:(1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直;(2)证明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行.
答案:解法一:(I)直三棱柱ABC-ABC,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
111
∴AC⊥BC,且BC
1
在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC;
1
(II)设CB与CB的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC
的中点,
1 1 1
∴DE//AC,∵DE?平面CDB,AC?平面CDB,
1 1 1 1
∴AC//平面CDB;
1 1
zCBAECByxA111解法二:∵直三棱柱ABC-
z
C
B
A
E
C
B
y
x
A
1
1
1
BC=4,AB=5,∴AC、BC、CC两两垂直,如图,以C
1
为坐标原点,直线CA、CB、CC分别为x轴、y轴、z轴,
1
建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C
1
3
2(0,0,4),B(0,4,0),B(0,4,4),D( ,2,0)
2
1
(1)∵AC=(-3,0,0),BC
1
=(0,-4,0),
∴AC?BC
1
=0,∴AC⊥BC.
1
1113
1
1
1
设CB
与CB的交战为E,则E(0,2,2).∵DE=(-2,0,2),AC
=(-3,0,
4)
4),∴DE?2AC
1
1
,∴DE∥AC.
1
点评:2.平行问题的转化:
转化
转化
面面平行
线面平行
线线平行;
如图所示,四棱锥P—ABCD中,AB?AD,CD?AD,PA?底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
求证:BM∥平面PAD;
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在侧面PAD内找一点N,使MN?平面PBD;(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
答案:(1
答案:(1)?M是PC的中点,取PD的中点E,则
ME
1
CD,又AB
2
1
CD
2
?四边形ABME为平行四边形
?BM∥EA,BM?平面PAD
EA?平面PAD
?BM∥平面PAD (4分)
以A为原点,以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则B?1,0,0)?,C?2,2,0?,D?0,2,0?,P?0,0,2?,M?1,1,1?,E?0,1,1?
在平面
内设N?0,y,z?,
??? ?
?,??? ? ?,
PAD
MN?
?1,y?1,z?1
PB?
1,0,?2
?DB ?1,?2,0? 由 ? ? ? ??1?2z?2?0 ?z?
?
MN PB MNPB??? ??? ??? ??? ???
MN PB MNPB
由MN?DB ?MN?DB??1?2y?2?0 ?y?1
???
??? ??? ??????
? 1 1??N?0, , ??N是AE的中点,此时MN?
? 1 1?
? 2 2?
设直线PC与平面PBD所成的角为?
2
(8分)
???
??2,2,?2?
???
???1,?1,?1?
P??C?,M??N? ?
PC ,MN ?
?
?,设 为
2 2?
cos??
? ?2 ?? 22 3? 6 3
PC?MN
PC?MN
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PCMN
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