高考数学常见难题大盘点立体几何.docx

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2013高考数学常见难题大盘点:立体几何

如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=3,BC=4,AA=4,点D是AB的中点, (I)求

111 1

证:AC⊥BC; (II)求证:AC//平面CDB;

1 1 1

解析:(1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直;(2)证明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行.

答案:解法一:(I)直三棱柱ABC-ABC,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,

111

∴AC⊥BC,且BC

1

在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC;

1

(II)设CB与CB的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC

的中点,

1 1 1

∴DE//AC,∵DE?平面CDB,AC?平面CDB,

1 1 1 1

∴AC//平面CDB;

1 1

zCBAECByxA111解法二:∵直三棱柱ABC-

z

C

B

A

E

C

B

y

x

A

1

1

1

BC=4,AB=5,∴AC、BC、CC两两垂直,如图,以C

1

为坐标原点,直线CA、CB、CC分别为x轴、y轴、z轴,

1

建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C

1

3

2(0,0,4),B(0,4,0),B(0,4,4),D( ,2,0)

2

1

(1)∵AC=(-3,0,0),BC

1

=(0,-4,0),

∴AC?BC

1

=0,∴AC⊥BC.

1

1113

1

1

1

设CB

与CB的交战为E,则E(0,2,2).∵DE=(-2,0,2),AC

=(-3,0,

4)

4),∴DE?2AC

1

1

,∴DE∥AC.

1

点评:2.平行问题的转化:

转化

转化

面面平行

线面平行

线线平行;

如图所示,四棱锥P—ABCD中,AB?AD,CD?AD,PA?底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。

求证:BM∥平面PAD;

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在侧面PAD内找一点N,使MN?平面PBD;(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

答案:(1

答案:(1)?M是PC的中点,取PD的中点E,则

ME

1

CD,又AB

2

1

CD

2

?四边形ABME为平行四边形

?BM∥EA,BM?平面PAD

EA?平面PAD

?BM∥平面PAD (4分)

以A为原点,以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则B?1,0,0)?,C?2,2,0?,D?0,2,0?,P?0,0,2?,M?1,1,1?,E?0,1,1?

在平面

内设N?0,y,z?,

??? ?

?,??? ? ?,

PAD

MN?

?1,y?1,z?1

PB?

1,0,?2

?DB ?1,?2,0? 由 ? ? ? ??1?2z?2?0 ?z?

?

MN PB MNPB??? ??? ??? ??? ???

MN PB MNPB

由MN?DB ?MN?DB??1?2y?2?0 ?y?1

???

??? ??? ??????

? 1 1??N?0, , ??N是AE的中点,此时MN?

? 1 1?

? 2 2?

设直线PC与平面PBD所成的角为?

2

(8分)

???

??2,2,?2?

???

???1,?1,?1?

P??C?,M??N? ?

PC ,MN ?

?

?,设 为

2 2?

cos??

? ?2 ?? 22 3? 6 3

PC?MN

PC?MN

??? ???

??????

PCMN

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