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蝴蝶定理的证明
定理:
设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F,
则M是EF的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线,同时诞生了各种美妙的思想,蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下,翩翩起舞!
证法1 如图2,作OU?AD,OV?BC,则垂足U,V分别为AD、BC的中点,且由于
?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?
得M、E、U、O共圆;M、F、V、O共圆。则?AUM=?EOM,?MOF??MVC
又 MAD MCB,U、V为AD、BC的中点,从而?MUA ?MVC,?AUM??MVC
则?EOM??MOF,于是ME=MF。
证法2 过D作关于直线OM的对称点D,如图3所示,则 ?FMD??EMD,MD=MD
ACP
A
C
P
E
F Q
U M
V
O
B
联结DM交圆O于C,则C与C关于OM对称,即
PC?CQ。又
( ( = BC=D?CFP=1 QB+PC)=1 QB+CC+CQ)1 ?BDC
( ( = BC=
D
2 2 2
故M、F、B、D四点共圆,即?MBF??MDF
而 ?MBF??EDM ○2 图2
CCAPEF QMOBDD由○1、○2知,?DME
C
C
A
P
E
F Q
M
O
B
D
D
证法3 如图4,设直线DA与BC交于点N。对?NEF及截线AMB,
?NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理,有
FM?EA?NB
?1,FM?ED
NC?1
ME AN BF ME DN CF
由上述两式相乘,并注意到
NACPEFQMOBNA?ND
N
A
C
P
E
FQ
M
O
B
FM2
得
ME2
?AN?ND?BF?CF?BF?CFAE ED BN CN AE?ED
?PM+MF
??
??MQ-MF?
?PM2?MF2
PM-ME??MQ+ME? PM2?ME2 D
化简上式后得ME=MF。[2]
2不使用辅助线的证明方法 图4
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
-
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证法4 (Steven给出)如图5,并令
?
DAB=
?
DCB
?
?
?
ADC=
?
ABC
?
?
?
DMP=
?
CMQ
?
?
?
AMP=
?
BMQ
?
?
ACαPEδαγMδγ
A
C
α
P
E
δ
α
γMδ
γ
FQ
β
O
β
B
ME ? x,MF ? y
S
?AME
S?FCM
S?EDM
S?FMB?1
由S
?FCM
S
?EDM
S
?FMB
S 即 图5
?AME ,
AM?AE?sin??FM?CM?sin??ED?MD?sin??MF?MB?sin??1
MC?CF?sin? EM?MD?sin? FB?BM?sin? MA?ME?sin?
化简得
MF2?
CF?FB
?QF?FP
?a?y??a?y?
? ?
a2?y2
ME2
AE?ED PE?EQ ?a?x??a?x? a2?x2
即 y2
x2
?a2?y2
a2?x2
从而x?y,ME?MF。
,
证法5 令?PMD??QMC??,?QMB??AMP??,以点M为视点,对?MBC和?MAD
分别应用张角定理,有
sin????? sin? sin? sin????? sin? sin?
? ? , ? ?
MF MC MB ME MD MA
上述两式相减,得
sin?????? 1 ?
1 ??
sin?
?MC?MD??
sin?
?MB?MA?
? ??MF ME
? ?
MC?MD MA?MB
2yA1CP2EFMQ2D1
2
y
A
1
C
P
2
E
F
M
Q
2
D
1
O
2
B
3
图6
4
MB?MA
?2MH
?2OMcos
?90
????
2OMsin?
MD?MC?2MG?2OMcos?90?????2OMsin?
? ??? ??? 1 1 ? ? ? sin????
? ?
于是 sin
? ?MF?ME??0 而 ?
,
?180?,知 0,
故ME=MF
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