高中数学排列组合知识点文档.docx

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复习巩固

分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m

1

排列组合

种不同的方法，在第2类办法中有m

2

种不同的方法，…，在第n类办法中

有m种不同的方法，那么完成这件事共有：N?m?m

n 1 2

?L?m

n

种不同的方法．

分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m

1

种不同的方法，做第2步有m

2

种不同的方法，…，做第n步有m

n

种不同

的方法，那么完成这件事共有：N?m?m

1 2

?L?m

n

种不同的方法．

分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C1

3

然后排首位共有C1

4

最后排其它位置共有A3

C1 A3 C1

4

由分步计数原理得C1C1A3

?288

4 4 3

4 3 4

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元

素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5A2A2?480种不同的排法

甲乙丙丁5 2 2

甲乙

丙丁

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有

5

种A4不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A4 种

6 5 6

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素

之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A7/A3

7 3

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A4种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A4种

7 7

方法。五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76种不同的排法

六.环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人

（8-1）！种排法即7！

A4并从此位置把圆形展成直线其余7人共有

4

CDB

C

D

B

ABCDEFGHA

F H

G

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A2种,再排后4个位置上的特殊元素丙有

4

A1种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有A2A1A5种

4 5 4 4 5

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C2种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A4种

5 4

方法，根据分步计数原理装球的方法共有C2A4

5 4

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有

A2种排法，再排小集团内部共有A2A2种排法，由分步计数原理共有

A2A2A2种排法 .

2 2 2

2 2 2

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给