高数典型例题.docx

解：在令t=cosx-1，得第一章

解：在

令t=cosx-1，得

例1：

（ ）.

A.{x|x3}

B.{x|x-2}

C.{x|-2x≤1}

D.

{x|x≤1}

例2：函数的定义域为（ ）.注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）

例2：函数

的定义域为（ ）.

知即要有x0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。解：由于对数函数lnx的定义域为

知

即要有x0、x≠1与

同时成立，从而其定义域为

，即应选C。

例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）

B中的函数是相同的。因为对一切实数x

B中的函数是相同的。因为

对一切实数x都成立，故应选B。

C中的两个函数是不同的。因为的定义域为

C中的两个函数是不同的。因为

的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。

例4：设

又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有例5：

又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有

例5：

f(2)没有定义。

例6：

例6：函数

是（ ）。

A．偶函数 B．有界函数C．单调函数D．周期函数

解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为

解：由于

，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。

事实上，对任意的x，由

事实上，对任意的x，由

，可得

，从而有

。可见，对于任意的x，

。

因此，所给函数是有界的，即应选择B。

例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（ ）。A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 Ｄ．奇偶性不确定

例8：函数的反函数是（）。解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知

例8：函数

的反函数是（

）。

中令y=-x，得0

=

f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)所以有f(-x)=-f(x)，即f(x)

为奇函数，故应选

A

。

A．B．

A．

B．

解：

C．

D．

于是，是所给函数的反函数，即应选C。A．B．例

于是，

是所给函数的反函数，即应选C。

A．

B．

C．D．f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域内，可以复合解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f(u)的定义域内，不能复合。在

C．

D．

f(u)的定义域

，也不能复合。只有(C)中

的定义域内，可以复合

例10：函数

例10：函数

可以看成哪些简单函数复合而成：

解：，三个简单函数复合而成。第二章

解：

，三个简单函数复合而成。

例1：下列数列中，收敛的数列是（ ）

A.B.C.D.由于，故（B）中数列发散。解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，

A.

B.

C.

D.

由于

，故（B）中数列发散。

一般地，如果有理函数，其中、分别为

一般地，如果有理函数

，其中

、

分别为n的k次、l次多项式，那么，

的最高次项的系数之比；

对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数

的极限，也有类似的结果。

由于正弦函数是一个周期为的周期函数，当时，

由于正弦函数是一个周期为

的周期函数，当

时，

并不能无限趋近于一个确

由于

，故（D）中数列收敛。

例2：

例2：设

，则a=( )

解：假设=0，则所给极限为，其分子趋于∞，而分母趋于有当 ≠0时，所给极限为，故应选C。

解：假设

=0，则所给极限为

，其分子趋于∞，而分母趋于有

当 ≠0时，所给极限为

，故应选C。

当

时，

当k=l时，f

(n)的极限为 、

当kl时，f当kl时，f

(n)的极限为零；(n)的极限为∞。

例3.解 利用重要极限

例3.

解 利用重要极限

，故应选C。解法1解法2

，故应选C。

解法1

解法2

解法3

例6.

类似地，第二重要极限可以看作是，其中 可以同时填入相同的任例

类似地，第二重要极限

可以看作是

，其中 可以同时填入相同的任

例4. 求

注：第一重要极限

的本质是

，这里的

可以想象为一个空的筐子，里面

可以填入任意以零为极限的表达式（三个 填入的内容要相同）。

例5.解：由于

例5.

解：由于

,故应选D。

可知是x的同阶无穷小量，所以应选

可知

是x的同阶无穷小量，所以应选A。

例8.当

等价的无穷小量是( )

解:例7.当x→0时