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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
第八章
（一）向量及其线性运算
1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、线性运算：加减法、数乘；
3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、利用坐标做向量的运算：设a??(a ,a
? x y
?
， ?(,a)
， ?(
z x y
,b)
，z
，
,则 a?
,
?b?(a
x
?b ,a
y
?b ,a
z
?b) ?a?
z
?(?a
x
,?a
y
,?a)
；z
；
5、向量的模、方向角、投影：
x2?y2?z2
x2?y2?z2
(x ?x)2?(
(x ?x)2?(y ?y)2?(z
2
1
2
1
?z)2
2 1
方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角?,?,?
方向余弦：
cos??
x, cos??
y, cos?? z
r?r?r??cos2??cos2??cos2??
r?
r?
r?
?
投影：
Prj
u
a??a?
cos?
，其中?
为向量
a?与u?的夹角。
ab（二）数量积，向量积
a
b
??1、数量积：a??b
?
?
? ? ?
cos?
a?
a?
a? ?
??
?
b
a?2? a??b ?
a?
2
ba???
b
? a b
x
a b
y
a b
z
运算律：
2、向量积：c?
? ?
? a?? ?
b?
b
? ? ?
大小： a b sin
，方向：a,b,c符合右手规则
1）a?
a?
? 0?
2）a//b ? a?b ? 0
? ? ? ??ki
? ? ? ??
k
ba???? a a a
b
x y z
b b b
?
? ? ??
运算律：反交换律 b?a ? ?a?b
（三）曲面及其方程
1、曲面方程的概念：S
2、旋转曲面：
: f(x,y,z)? 0
yoz 面上曲线C : f(y,z)? 0，
绕y轴旋转一周： f(y,?
x2y2绕z
x2
y2
)? 0
x2z2,z
x2
z2
3、柱面：
F(x,y)? 0
4、二次曲面
??F(x,y)?0
?表示母线平行于z 轴，准线为? 的柱面
?
?z?0
x2 y2
椭圆锥面：a2
? ? z2
b2
x2 ? y2 ? z2 ?1
椭球面：a2 b2 c2
x2 ?
y2 ? z2 ?1
旋转椭球面：a2
a2 c2
x2 ? y2 ? z2 ?1
单叶双曲面：a2 b2 c2
x2 ? y2 ? z2 ?1
双叶双曲面：a2 b2 c2
x2 ?
y2 ? z
椭圆抛物面：a2 b2
x2 ? y2 ? z
双曲抛物面（马鞍面）：a2 b2
x2 ? y2 ?1
椭圆柱面：a2 b2
?x2 y2 ?1
?
双曲柱面：a2 b2
抛物柱面：x2
? ay
（四）空间曲线及其方程
??F(x,y,z)?0
?1、一般方程：??G(x,y,z)?0
?
?x ? x(t) ?x ? acos t
? ?
2、参数方程：?
y ? y(t)
，如螺旋线：?y ? asin t
? ?
??z ? z(t)
3、空间曲线在坐标面上的投影
??F(x,y,z)?0
??z ? bt
??H(x,y)?0
? ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影?
??G(x,y,z)?0
??z?0
（五）平面及其方程
01、点法式方程：A(x?x
0
)?B(y? y
0
)?C(z?z
0
)?0
法向量：n?
?(A,B,C)，过点(x ,y ,z )
0002、一般式方程：Ax ?By ?Cz ?D ?0
0
0
0
x ? y ?
z ?1
截距式方程：a b c
13、两平面的夹角：n?
1
?(A
1
,B
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