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高一数学中的恒成立问题
班级 姓名 学号
1.任意x?R,不等式?a?2?x2?2?a?2?x?4?0恒成立,则a的范围是 ??2,2???.
若不等式x+2 xy≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立,则正数a的最小值为( B )
C.2?
C.
2?
A.1 B.2
2 D.2 2+1
xya(a?1)xy. B由条件:2 ≤(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)
xy
a(a?1)xy
xya(a?1)xy令2 =2 ,a(
xy
a(a?1)xy
不等式?m2?1?x2?2?m?1?x?3?0对一切实数x恒成立,则实数m的范围为 .
【解】当m2?1?0时不等式恒成立的充要条件是m2?1?0且4?m?1?2?12?m2?1??0,即m1或m-2;当m-1=0时不等式化为30,恒成立.综上m范围是(??,?2)U?1,+??.
14、已知两个正变量x,y满足x?y?4,则使不等式 ?4?m恒成立的实数m的取值
1
x y
范围是 (??,9]
4
1 a
5.已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )x y
a
a4
2
4?2x2
6、若对于一切正实数x不等式
x
1
a恒成立,则实数a的取值范围是
若不等式.x2?log
m
x?0在(0,
2
)的范围内恒成立,则实数m的取值范围是____.
【解】 1?m?1提示:利用数形结合讨论0m1和m1两种情况
16
设y=x2+ax+b,当x=2时y=2,且对任意实数x都有y≥x恒成立,实数a、b的值为(B).
A.a=-3b=-4 B.a=-3 b=4 Ca=3b=4 Da=3 b=-4
1
9、当x1时,不等式x+
x?1
≥a恒成立,则实数a的取值范围是( D )
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]
(?1)n?1
10.若不等式(?1)na?2? 对任意正整数n恒成立。则实数a的取值范围是( A)
n
A [?2,3) B (?2,3) C (?3,3) D (?3,3)
2 2 2 2
11、若关于x的不等式x2?4x?m对任意x?[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是 (??,?3] .
在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x恒成立,则( C )
A.?1?a?1 B.0?a?2 C.?1
?a?
3D.?
3?a?1
2 2 2 2
二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意实数x恒有
f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)f(1+2x-x2),则x的取值范围是 .
解析:由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小,
∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0.
若 a?R,下列不等式恒成立的是 ( )
1
A.a2?1?a B.
a2?1
?1 C.a2?9?6a D.lg(a2?1)?lg|2a|
若x0,y0,且x+y?4,则下列不等式中恒成立的是( )
A. 1 ?1
B.1?1
?1 C.
?2 D.1?1
xyx?y 4 x y xy
xy
若x,y为非零实数,代数式x2?y2?8(x?y)?15的值恒为正,对吗?答 .
y2 x2 y x
17、若对任意x0, x ≤a恒成立,则a的取值范围是 .
x2+3x+1
【解析】若对任意x0,+x
≤a恒成立,只需求得y= x
的最大值即可.因
x2 3x+1 x2+3x+1
为x0,所以y= x
= 1 ≤ 1
=1,当且仅当x=1时取等号,
xx2+3x+1 x+1+3 2 x·1+3 5
x
x
所以a的取值范围是[1,+∞).
5
18、设x0,y0
1 1 m
≥0恒成立,则实数m的最小值是 .
,不等式++
x yx+
x y
【解析】 原问题等价于m≥-1+1)恒成立,
x+y
∵x0,y0,∴等价于m≥-(1+1
(x y
而-(1+1 y+
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