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高一数学中的恒成立问题

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1.任意x?R，不等式?a?2?x2?2?a?2?x?4?0恒成立，则a的范围是 ??2,2???.

若不等式x+2 xy≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立，则正数a的最小值为( B )

C.2?

C.

2?

A.1 B.2

2 D.2 2+1

xya(a?1)xy. B由条件:2 ≤(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)

xy

a(a?1)xy

xya(a?1)xy令2 =2 ,a(

xy

a(a?1)xy

不等式?m2?1?x2?2?m?1?x?3?0对一切实数x恒成立，则实数m的范围为 .

【解】当m2?1?0时不等式恒成立的充要条件是m2?1?0且4?m?1?2?12?m2?1??0，即m1或m-2；当m-1=0时不等式化为30,恒成立.综上m范围是（??，?2）U?1，+??.

14、已知两个正变量x,y满足x?y?4，则使不等式 ?4?m恒成立的实数m的取值

1

x y

范围是 (??,9]

4

1 a

5．已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )x y

a

a4

2

4?2x2

6、若对于一切正实数x不等式

x

1

a恒成立，则实数a的取值范围是

若不等式.x2?log

m

x?0在(0,

2

)的范围内恒成立,则实数m的取值范围是＿＿＿＿.

【解】 1?m?1提示：利用数形结合讨论0m1和m1两种情况

16

设y=x2+ax+b，当x=2时y=2,且对任意实数x都有y≥x恒成立，实数a、b的值为（Ｂ）.

A.a=-3b=-4 B.a=-3 b=4 Ca=3b=4 Da=3 b=-4

1

9、当x1时，不等式x+

x?1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是（ D ）

A．(－∞,2] B．[2,+∞) C．[3,+∞) D．(－∞,3]

(?1)n?1

10.若不等式(?1)na?2? 对任意正整数n恒成立。则实数a的取值范围是（ A）

n

A [?2,3) B (?2,3) C (?3,3) D (?3,3)

2 2 2 2

11、若关于x的不等式x2?4x?m对任意x?[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是 (??,?3] ．

在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x恒成立，则（ C ）

A．?1?a?1 B．0?a?2 C．?1

?a?

3D．?

3?a?1

2 2 2 2

二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有

f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)f(1+2x－x2),则x的取值范围是 .

解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，

∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0.

若 a?R，下列不等式恒成立的是 （ ）

1

A．a2?1?a B．

a2?1

?1 C．a2?9?6a D．lg(a2?1)?lg|2a|

若x0,y0,且x+y?4,则下列不等式中恒成立的是（ ）

A． 1 ?1

B．1?1

?1 C．

?2 D．1?1

xyx?y 4 x y xy

xy

若x,y为非零实数，代数式x2?y2?8(x?y)?15的值恒为正，对吗？答 .

y2 x2 y x

17、若对任意x0， x ≤a恒成立，则a的取值范围是 ．

x2＋3x＋1

【解析】若对任意x0，＋x

≤a恒成立，只需求得y＝ x

的最大值即可．因

x2 3x＋1 x2＋3x＋1

为x0，所以y＝ x

＝ 1 ≤ 1

＝1，当且仅当x＝1时取等号，

xx2＋3x＋1 x＋1＋3 2 x·1＋3 5

x

x

所以a的取值范围是[1，＋∞)．

5

18、设x0，y0

1 1 m

≥0恒成立，则实数m的最小值是 ．

，不等式＋＋

x yx＋

x y

【解析】 原问题等价于m≥－1＋1)恒成立，

x＋y

∵x0，y0，∴等价于m≥－(1＋1

(x y

而－(1＋1 y＋