高中数学数列知识点与例题文档.docx

高中数学数列

高中数学数列

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知识点：

数列基础知识点和方法归纳

(一)数列的该概念和表示法、

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记

作a，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号

n

为n 的项叫第n项（也叫通项）记作a；

n

数列的一般形式：a，a，a

1 2 3

，……，a

n

，……，简记作?a?。

n

（2）通项公式的定义：如果数列{a}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那

n

么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①?a

n

?表示数列，a

n

表示数列中的第n项，a

n

= f?n?表示数列的通项公式；

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

序号：12

序号：1

2

3

4

5

6

项 ：4

5

6

7

8

9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n

?

从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),……，f(n)，……．通常用a

n

来代替f?n?，其图象是一群孤立的点

数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动

数列。

递推公式定义：如果已知数列?a

n

?的第1项（或前几项），且任一项a

n

与它的前一项

a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公

n?1

式。

数列通项a

n

与前n项和S

n

的关系

S

?a?a

?a ???a

??na

? S

?2．a ?? 1

?

n?1

n 1 2 3

n i

i?1

n S

n

S

n?1

n?2

? S (n?1)

?题型一应用a

?

n

? 1

?S ?S

?

n

n?1

(n?2)

求数列通项

【例1】已知数列?a

n

?的前n项和S

n

?3n?2，求其通项公式.

解析：当n?1时,a

1

?S ?31?2?1，

1

当n?2时,a

n

?S?S

n n?1

?(3n?2)?(3n?1?2)?2?3n?1

又a ?1不适合上式，故a

1 n

?? 1

??2?3n?1

?

(n?1)

(n?2)

题型二、利用递推关系求数列的通项

【例2】根据数列?a

n

求其通项公式

?的首项和递推关系，a

1

?1,

2

a

n?1

?a ? 1

n 4n2?1

解析：因为a

?a ? 1

，所以a

a ?

1 ?1( 1 ? 1 )

n?1

n 4n2?1

n?1

n 4n2?1

2 2n?1 2n?1

所以a ?a

2 1

?1(1?1)

21 3

1 1 1

a ?a

3 2

a ?a

? ( ? )2 3 5

?1(1?1)

4 3 2 5 7

…，…，

1 1 1

a ?a

n

n?1

? ( ? )2 2n?3 2n?1

以上(n?1)个式相加得

a ?a ?1(1? 1 )

n 1 2 2n?1

即：a

?1? 1 ?

4n?3

n 4n?2 4n?2

a

【点拨】：在递推关系中若a

n?1

?a ?f(n),求a

n n

用累加法，若

n?1?f(n),求a用

a n

n

累乘法，若a ?pa ?q，求a用待定系数法或迭代法。

n?1 n n

课外练习

1、设a

? 1 ? 1 ??? 1 ，(n?N?)，则a

与a 的大小关系是( C )

n n?1 n?2 2n?1

n?1 n

A．an?1?an B．an?1?an

C．an?1?an D．不能确定

解：因为

1 1 1

a ?a

n?1 n

? ? ?

2n?2 2n?3 n?1

? 1 ? 1 ?0

2n?3 2n?2

所以a ?a，选Ｃ．

n?1 n

已知数列?a

n

?的前n项和S ?n2

n

? ?2 , (n?1)

??4n