考研高数讲稿第七章多元函数积分学.docx

第七章多元函数积分学

一、 考试要求

理解函数的概念，掌握函数的表示法；会建立简单应用问题中的函数关系；会求函数的定义域、值域及表达式.

理解函数的儿种特性：有界性、单调性、奇偶性与周期性.

理解复合函数、反函数、分段函数及隐函数的概念，会求一?些简单函数的反函数；能将初等函数分解为一些基本初等函数的复合.

熟悉基木初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念.

理解数列极限与函数极限（包括左右极限）的定义及它们的性质.

掌握极限的四则运算，会丿IJ极限的复合运算法则求极限；掌握夹逼定理与单调有界定理，并会利用它们求极限.

掌握两个重要极限及其应用.

理解无穷小、无穷大的概念.，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.

理解函数连续性的概念（含左极限、右连续），会判断间断点的类型.

了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解区间上连续函数的性质定理（有界性、最人值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质.

二、 内容结构

第七章多元函数积分学

§7.1二重积分

（甲）内容要点

?、在直角坐标系屮化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

模型I：设有界闭区域

D={(x,y)\axh,^,(x)y^2(x)}

其中(p、(x),?(兀)在S，甸上连续，/(x，A)在

D上连续，则

, hPi(x) q

兀,yW= y)clxdy=p/x\f(x,y)dy

D D a(P\{x)

模型II:设有?界闭区域

其中叭(y),?(刃在［c,d］上连续，/(x,y)在D上连续… d?(y)则JJ7(x,y)dcr=D D c?(y)

其中叭(y),?(刃在［c,d］上连续，/(x,y)

在D上连续

… d?(y)

则JJ7(x,y)dcr=

D D c?(y)

关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II,把二重积分化为累次积分从而进行计算,对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II屮关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和,而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在肓角坐标系屮两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D,然后根据D再把二重积分化为另外一-利帧序的累次积分。

JJ7(x，y)dxdy=JdyJf(x,y)dx

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定〃对了进行积分，然后再对

进行积分，由于区域D的不同类型，也冇几种常川的模型。模型I设有界闭区域

D={{y,9)\aep,?⑹““2()}|

其中e(0),?()在［,0］上连续，/(x,y)=/(/cos0,了sin0)在￡上连续。

… … 0輕⑹

JJf(x,y)dcr=^f(/cos0,ysin0)ydyd0= J/(/cos0,ysinO)ydy

D D a

件(0)

模型II设有界闭区域

D={(7,0)05050,0/(p(0}\其中

0(0)在［a,0］上连续，

/(x,y)=/(/cos0,ysin0)在￡上连续。

0(0)

则 二^dOj/(/cos/sin0)}dy

D D

(乙)典型例题

一、二重积分的计算

例1计算\\e~y2dxdy,其中D由y=x,y=l和y轴所围区域

D

11

解：如果Jp_vdxdy=^dx^e~ydy

TOC\o1-5\h\zD 0x

那么先对不尸求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。

= 1y7

^e~ydxdy=Jdy^e~ydx

D 0 0

这时先对兀枳分，广厂当作常数处理就可以了。

1

2l原式二JyQdy=

2l

0

例2计算JJyj\y-x2\dxcly

lxll

05)02

1

解：原式=_)〃)+

一1 0 A2

2

1 9

JT

dy

y=x29r -

dx+qj(y-x2)2y=0 -1

01 — 7T

\x\3dx^-[(2-x1Ydx=-+-

3』 3 2

91 3

--

3-1

1)

J-1

y=2

dx

y=x2

3托一

3托

一2cos0

fr2dr

32

~9

例3求/=JJ(JF+)，+y)cl(y

D

D.n

(x+1)2+y21

解m

DD大圆D小西

2+y2+yda=jjyjx