高中数学选修22知识点、考点、典型例题文档.docx

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高中数学选修2–2知识点

第一章 导数及其应用

一．导数概念

导数的定义：函数y?f(x)在x?x

处的瞬时变化率是

0

lim

?x?0

f(x

0

??x)?f(x

0?x

0

)，称它为函数y?f(x)在

x?x

处的导数，记作f?(x

)或y?|

，即f?(x)=

f(x??x)?f(x

)。导数的物理意义：瞬时速率。

0 0 x?x0

0 lim 0

?x?0 ?x

0导数的几何意义：通过图像可以看出当点P

0

n

无限趋近于P时，割线PP

n

趋近于稳定的位置直线PT，

我们说直线PT与曲线相切。割线PP

n

的斜率是

k ?

f(x

n

)?f(x

0

)，当点P

n

趋近于P时，函数y?f(x)

n x ?x

n 0

在x?x

0

处的导数就是切线PT的斜率k，即k?lim f(xn)?f(x0)? f?(x)

?x?0 x ?x 0

n 0

导函数：当x变化时，f?(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数. y?f(x)的导函数记作y?,

即f?(x)?lim f(x??x)?f(x)

?x?0 ?x

二.导数的计算

基本初等函数的导数公式:

1．若f(x)?c(c为常数)，则f?(x)?0； 2.若f(x)?x?,则f?(x)??x??1;

3.若f(x)?sinx, 则f?(x)?cosx 4.若f(x)?cosx,则f?(x)??sinx;

5.若f(x)?ax, 则f?(x)?axlna 6.若f(x)?ex,则f?(x)?ex

7.若f(x)?log

a

x,则f?(x)?

1 8.若

xlna

f(x)?lnx,则f?(x)?1

x

导数的运算法则

1.[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x) 2.[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)

3.[f(x)]?? f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)

g(x) [g(x)]2

复合函数求导

y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x 的函数,即y?f(g(x))为一个复合函数

y??f?(g(x))?g?(x)

三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)

在这个区间单调递增；如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递减.

已知函数的单调性求参数的取值范围:

“若函数单调递增，则f?(x)≥0；若函数单调递减，则f?(x)≤0”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解.2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数y?f(x)的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f?(x);(3)求方程f?(x)=0的根;

(4)如果在x附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x)是极大值;

0 0

如果在x附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x)是极小值;

0 0

函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤

求函数y?f(x)在(a,b)内的极值；

将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点： 1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用

3、导数在极值、最值中的应用. 4、导数在恒成立问题中的应用

定积分

定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限

?bf(x)