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物理解题中的递推公式

商洛中学 杨玉良

分析一些同类特殊事例，确切判断出它们所共有的因果联系和特征，作出一般结论。这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。常用它来研究运动规律已知，在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。它具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解；或导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。

1、如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。

【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后，其速率将减小，从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。而每次两球碰撞后，绝缘球的速率是有规律性的变化，要求解本题题设条件下的碰撞次数，关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。

【解】方法1．根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。设小球m的摆线长度为l，绝缘球第一次碰撞前的速度为v0，碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1，设速度向左为正，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能

， ①守恒：

， ①

由④、⑤解得：，整理得：m和M碰撞过程满足：mv=MV+mv

由④、⑤解得：

，

整理得：

， ③0 1 1

， ③

联立②、③得：，12 2由于v0，说明绝缘球被反弹，而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞，设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v、V

联立②、③得：

，

1

2 2

，④m|v|=MV+mv

，④

， ⑤1 2 2

， ⑤

同理第三次碰撞后绝缘球的速率v为：3，所以：，⑥

同理第三次碰撞后绝缘球的速率v为：

3

，

所以：

，⑥

n

，⑦经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°，则

，⑦

联立①、⑥、⑦代入数据解得，（0．81）n=0．586，

当n=3时，碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。

方法2．导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。

n v v V设在第 次碰撞前绝缘球的速度为 ，碰撞后绝缘球、

n v v V

n-1 n n-1

由于碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等，则

，n-1 n nmv =MV

，

n-1 n n

解得，由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为

解得

，

由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为v，

n

，

依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1)。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。

依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜

1)。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2

号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无

机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，

g取10m/s2）

（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v，

n

求n+1号球碰撞后的速度。

（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16h小于绳长）问k值为多少？

解：（1）设n号球质量为m，n+1，碰撞后的速度分别为v?、v?

,取水平向右为正方向，

n

据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v、0、m km

n n+1 n

n?1

根据动量守恒，有mv

v n

?mE??km

v n

v? ①

n?1

1

根据机械能守恒，有

2

mv2=

n n

1

mv2

2 nn

1km

2 n

v?2

n?1 ②

由①、②得v?

?2En

(v?

?0舍去)

n?1

k?1

n?1

n+1设n+1号球与n+2号球碰前的速度为

n+1

据题意有 v

=v?

n－1

n?1

得 v =v? =2En ③

n－1

n?1

1?k

1设1号球摆至最低