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物理解题中的递推公式
商洛中学 杨玉良
分析一些同类特殊事例,确切判断出它们所共有的因果联系和特征,作出一般结论。这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况,即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式。常用它来研究运动规律已知,在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。它具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论;再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解;或导出联系相邻两次作用的递推关系式,再把结论推广,后结合数学知识求解。
1、如图所示,质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后,其速率将减小,从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。而每次两球碰撞后,绝缘球的速率是有规律性的变化,要求解本题题设条件下的碰撞次数,关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。
【解】方法1.根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解。设小球m的摆线长度为l,绝缘球第一次碰撞前的速度为v0,碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1,设速度向左为正,小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能
, ①守恒:
, ①
由④、⑤解得:,整理得:m和M碰撞过程满足:mv=MV+mv
由④、⑤解得:
,
整理得:
, ③0 1 1
, ③
联立②、③得:,12 2由于v0,说明绝缘球被反弹,而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞,设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v、V
联立②、③得:
,
1
2 2
,④m|v|=MV+mv
,④
, ⑤1 2 2
, ⑤
同理第三次碰撞后绝缘球的速率v为:3,所以:,⑥
同理第三次碰撞后绝缘球的速率v为:
3
,
所以:
,⑥
n
,⑦经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°,则
,⑦
联立①、⑥、⑦代入数据解得,(0.81)n=0.586,
当n=3时,碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
方法2.导出联系相邻两次作用的递推关系式,再把结论推广,后结合数学知识求解。
n v v V设在第 次碰撞前绝缘球的速度为 ,碰撞后绝缘球、
n v v V
n-1 n n-1
由于碰撞过程中动量守恒,碰撞前后动能相等,则
,n-1 n nmv =MV
,
n-1 n n
解得,由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为
解得
,
由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为v,
n
,
依次递减,每球质量与其相邻左球质量之比为k(k<1)。将1号球向左拉起,然后由静止释放,使其与2号球碰撞,2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。
依次递减,每球质量与其相邻左球质量之比为k(k<
1)。将1号球向左拉起,然后由静止释放,使其与2
号球碰撞,2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无
机械能损失的正碰。(不计空气阻力,忽略绳的伸长,
g取10m/s2)
(1)设与n+1号球碰撞前,n号球的速度为v,
n
求n+1号球碰撞后的速度。
(2)若N=5,在1号球向左拉高h的情况下,要使5号球碰撞后升高16k(16h小于绳长)问k值为多少?
解:(1)设n号球质量为m,n+1,碰撞后的速度分别为v?、v?
,取水平向右为正方向,
n
据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v、0、m km
n n+1 n
n?1
根据动量守恒,有mv
v n
?mE??km
v n
v? ①
n?1
1
根据机械能守恒,有
2
mv2=
n n
1
mv2
2 nn
1km
2 n
v?2
n?1 ②
由①、②得v?
?2En
(v?
?0舍去)
n?1
k?1
n?1
n+1设n+1号球与n+2号球碰前的速度为
n+1
据题意有 v
=v?
n-1
n?1
得 v =v? =2En ③
n-1
n?1
1?k
1设1号球摆至最低
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