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高等数学知识点总结
空间解析几何与向量代数一、重点与难点
1、重点
①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察）
③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要）
④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考）
⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考）
空间解析几何和向量代数：
(x ?x)2?(y ?y
(x ?x)2?(y ?y)2?(z ?z)2
2 1 2 1 2 1
AB1 2
AB
向量在轴上的投影：PrjAB?
? ? ? u ?
?cos?,?是AB与u轴的夹角。
Prj(a?a)?Prja?Prja
? ?u 1? ?2 ? 1 2
a?b?a?bcos ?ab ?ab
x x y y
ab
z z
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos??
ab ?ab
a2?a
a2?a2?a2? b2?b
x y z x y
2?b2
z
ab
z z
? ? ? i j k ? ? ? ? ? ?
c?a?b?a a
x y
b b
x y
a,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.
z
b
z
aa[???]?(???)???bx by
a
a
bz?????
?cos?,?为锐角时，
向量的混合积：abc
a b c
x y
c c
x y
a b c
az
a
c
z
代表平行六面体的体积。
平面的方程：
1、点法式：A(x?x
)?B(y?y
)?C(z?z
)?0
??{A,B,C},M
(x,y,z)
0 0 0
，其中n
0 0 0 0
2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0
3 x y z
、截距世方程：? ? ?1
Ax ?
Ax ?By ?Cz ?D
0 0 0
A2?B2?C2
平面外任意一点到该平面的距离：d?
x?x y?y z?z
?x?x
? ? 0
mt
m n p ?空间直线的方程： 0? 0? 0?t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y
m n p ?
nt
二次曲面：
0
?z?z ?pt
?
0
x2 y2 z2
、椭球面：
a2
? ? ?1
b2 c2
x2 y2
、抛物面： ? ?z（,p,q同号）
2p 2q
3、双曲面：
x2 y2 z2
单叶双曲面：
a2
? ? ?1
b2 c2
x2 y2 z2
双叶双曲面：
a2
? ?
b2 c2
?（1
马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：dz??zdx??zdy du?
?u ?u ?u
dx? dy? dz
?x ?y ?x ?y ?z
全微分的近似计算：?z?dz?f
x
多元复合函数的求导法：
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y
dz ?z ?u ?z ?v
z?f[u(t),v(t)] ? ? ? ?
dt ?u ?t ?v ?t
?z ?z ?u ?z ?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]
?x?
?u??x
??v??x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，
?u ?u ?v ?v
du??xdx??ydy dv??xdx??ydy
隐函数的求导公式：
dy F
d2y ? F
? F dy
隐函数F(x,y)?0， ?? x， ? (? x)＋ (? x)?
dx F
y
dx2
?x F
y
?y F dx
y
F隐函数F(x,y,z)?0，?z?? x，
F
?z??Fy
?x F
z
?y F
z
?F?u?G?u?F?v?G?v?F(x,y,u,v)
?F
?u
?G
?u
?F
?v
?G
?v
隐函数方程组：?
J? ?
? u v
?G(x,y,u,v)?0 ?(u,v) G G
?
u v
?u??1??(F,G) ?v??1??(F,G)
?x J ?
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