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高等数学（下）知识点

高等数学（下）知识点

第

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第八章（一） 向量及其线性运算

第八章

高等数学下册常用常见知识点空间解析几何与向量代数

1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、线性运算：加减法、数乘；

3、空间直角坐标系：坐标轴、坐?标面、卦限，向量的坐?标分解式；

，a?(a ,a ,a) b?(b ,b

，

,b)

4、?利用坐?标做向量的运算：设

x y z ?

x y z ，

则a?b?(a

则

x

?b ,a

y

?b ,a

z

?b)

z ,

?a?(?a

x

,?a

y

,?a)

；

5、向量的模、方向角、投影：

x2

x2?y2?z2

向量的模：r? ；

(x ?x)2?

(x ?x)2?(y ?y)2?(z

2

1

2

1

?z)2

2 1

方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角?,?,?

方向余弦：

cos??

x, cos??

y, cos?? z

r?r?r?cos2??cos2??cos2?

r

?

r

?

r

?

? ? ?

Prj?a?acos? ? a ?

投影： u

，其中 为向量 与u的夹角。

（二） 数量积，?向量?积 ? ?

1、 数量积：

a?b ? a

b cos?

a2? ?

a

2

a?a ?

1）

? ? ? ?

a ? b ? a?b ? 0

?2）

?

?

a?b ? a b ?a b ?a b

x x y y z z

? ? ?

c ? a?b

2、 向量积：? ?

? ? ? ?

a

大小：

b sin

，方向：

a,b,c

符合右手规则

? ? ?

a?a ? 0

1）

第

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? ?

a//b ?

i2） ?

i

? ? ?

a?b ? 0

? ?

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?j k

?

?

a?b? a a a

x y z

b b b

x ?y ?z ? ?

运算律：反交换律

b?a ? ?a?b

（三） 曲面及其方程

S : f(x,y,z)? 0

1、

2、

yoz

曲面方程的概念：

旋转曲面：（旋转后方程如何写）

C : f(y,z)? 0

x

x2

z2

y

绕 轴旋转一周：

f(y,?

)? 0

x2y

x2

y2

z

绕 轴旋转一周：

,z)? 0

3、 柱面：（特点）

F(x,y)? 0

z表示母线平行于

z

??F(x,y)?0

?轴，准线为??z?0 的柱面

?

4、 二次曲面（会画简图）

2x2 ? y2 ? z

2

椭圆锥面：a2 b2

x2 ?

y2 ? z2 ?1

椭球面：a2

x2 ?

b2 c2

y2 ? z2 ?1

旋转椭球面：a2 a2 c2

x2 ? y2 ? z2 ?1

*单叶双曲面：a2 b2 c2

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x2 ? y2 ? z2 ?1

*双叶双曲面：a2 b2 c2

x2 ?

y2 ? z

椭圆抛物面：a2 b2

x2 ? y2 ? z

*双曲抛物面（马鞍面）：a2 b2

?x2 y2 ?1

?

椭圆柱面：a2 b2

x2 ? y2 ?1

双曲柱面：a2 b2

x2

抛物柱面：

? ay

（四） 空间曲线及其方程

??F(x,y,z)?0

?

1、 一般方程：??G(x,y,z)?0

?x ? x(t) ?x ? acos t

? ?

2、 参数方程：?

y ? y(t)

，如螺旋线：?y ? asin t

? ?

??z ? z(t) ??z ? bt

3、 空间曲线在坐标面上的投影

??F(x,y,z)?0

???G(x,y,z)?0

?

，消去z

，得到曲线在面

xoy

??H(x,y)?0

?上的投影??z?0

?

（五） 平面及其方程（法向量）

A(