高中数学苏教版第一章三角函数任意角弧度2023版第1章2.docxVIP

1.1.2弧度制

1.了解弧度制.

2.会进行弧度与角度的互化.?重点、难点?

3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.?难点、易错点?

[基础·初探]

教材整理1弧度制的概念

阅读教材P7的有关内容，完成下列问题.

1.角度制：规定周角的eq\f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

2.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大.()

(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()

(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度.()

【答案】(1)×(2)×(3)×

教材整理2角度制与弧度制的换算

阅读教材P8的全部内容，完成下列问题.

1.角度制与弧度制的换算

角度化弧度

弧度化角度

360°＝2πrad

2πrad＝360°

180°＝πrad

πrad＝180°

2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

角度

0°

1°

30°

45°

60°

90°

弧度

0

eq\f(π,180)

eq\f(π,6)

eq\f(π,4)

eq\f(π,3)

eq\f(π,2)

角度

120°

135°

150°

180°

270°

360°

弧度

eq\f(2π,3)

eq\f(3π,4)

eq\f(5π,6)

π

eq\f(3π,2)

2π

3.任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.

(1)eq\f(3π,5)＝________；

(2)－eq\f(π,6)＝________；

(3)－120°＝________rad；

(4)210°＝________rad.

【解析】(1)eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°；

(2)－eq\f(π,6)＝－eq\f(1,6)×180°＝－30°；

(3)－120°＝－120×eq\f(π,180)＝－eq\f(2,3)π；

(4)210°＝210×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,6).

【答案】(1)108°(2)－30°(3)－eq\f(2π,3)(4)eq\f(7π,6)

教材整理3扇形的弧长公式及面积公式

阅读教材P9的全部内容，完成下列问题.

1.弧度制下的弧长公式：

如图1-1-7，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.

图1-1-7

2.扇形面积公式：

在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝eq\f(|α|,2π)·πr2＝eq\f(1,2)lr.

若扇形的圆心角为eq\f(π,6)，半径r＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________.

【解析】∵α＝eq\f(π,6)，r＝1，

∴弧长l＝α·r＝eq\f(π,6)×1＝eq\f(π,6)，

面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×1＝eq\f(π,12).

【答案】eq\f(π,6)eq\f(π,12)

[小组合作型]

角度制与弧度制的互化

把下列弧度化成角度或角度化成弧度；

(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.

【精彩点拨】利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化.

【自主解答】(1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad；

(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\f(180°,π)＝18°；

(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\f(180°,π)＝－240°；

(4)112°30′＝°＝×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.

[再练一题]

1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).

【解】(1)72°＝72×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π,5)rad；

(2)－300°＝－300×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,3)rad；

(3)2rad＝2×eq\f(180°,π)＝eq\f(360°,π)≈°；

(4)－eq\f(2π,9)rad＝－eq\f(2π,9)×eq\f(180°,π)＝－40°.

用弧度制表示角