案例6油井钻探问题.docVIP

油井钻探问题：某公司拥有一块可能有油的土地，该公司可以自己钻井，也可以出租给其它公司开采。假设出租土地，租约有两种：①无条件出租，租金45万元；②有条件出租，租金依产量而定：产量在20万桶以上，每桶提成5元，产量缺乏20万桶时，不收租金。

设钻井费用为75万元，有油时需另加采油设备费25万元，油价为15元/桶，为了简化，可以将油井产量离散化，分为4种状态：无油、产油5万桶，产油20万桶、产油50万桶。设各种状态的主观概率分布如下表所示，试问决策人该选择什么行动？

表1油井钻探问题的自然状态及各自然状态的先验概率

50万桶

20万桶

5万桶

无油

?j

?1

?2

?3

?4

?(?j)

0.1

0.15

0.25

0.5

根据决策树的表示方法，假设行动为自己钻井；为无条件出租；为有条件出租，可能的自然状态及其先验概率分布见表1，各行动所产生后果的效用为，则油井钻探问题的决策树可表示为：

a

a1

a2

a3

?(?1)

?(?2)

?(?3)

?(?4)

?(?1)

?(?2)

?(?3)

?(?4)

C12=15×20－25－75u12=200

＝200〔万元〕

C13=15×5－25-75u13=-25

＝-25〔万元〕

C14=0-75u14=－75

＝-75〔万元〕

C2=45〔万元〕u2=45

C31=5×50u31=250

＝250万元

C32=5×20u32=100

＝100万元

C33=0u33=0

C34=0u34=0

C11=15×50－25－75u11=650

＝650〔万元〕

假设决策人的效用值即为各行动的后果值，即，再令其损失函数等于效用函数的负值，即：。

1、无观察值

风险函数，贝叶斯风险。

对于：

=-650×0.1-200×0.15+25×0.25+75×0.5

=-51.25

对于：

=-45×1=-45

对于：

=-250×0.1-100×0.15-0

=-40

根据贝叶斯规则，风险r最小的行动最优。所对应的最小，所以是贝叶斯规则,或称贝叶斯行动。

即决策人应该选择自己钻井。

2．进行随机试验获取观察值

假设可以通过地震勘探〔试验费12万元〕获得该地区的地质构造类型(k=1,2,3,4)的信息.设似然函数如下表：

7/12

1/3

1/12

0

9/16

3/16

1/8

1/8

11/24

1/6

1/4

1/8

3/16

11/48

13/48

5/16

求解：①求后验概率；②进行贝叶斯分析，求贝叶斯规则；③画决策树；④讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤

解：在随机试验获取观察值的情况下，

求后验概率

由得：

同理可得：

；；

再根据贝叶斯公式：

求得后验概率如下表：

0.1662

0.1531

0.0370

0.0000

0.2404

0.1292

0.0833

0.0909

0.3264

0.1914

0.2778

0.1515

0.2671

0.5263

0.6019

0.7576

②用贝叶斯扩展型方法求贝叶斯规则

将采取行动的后验期望损失记为，则：

I、给定：

=0.1662×(-650+12)+0.2404×(-200+12)

+0.3264×(75+12)+0.2671×(25+12)

=-112.93

=-45+12=-33

=0.1662×(-250+12)+0.2404×(-100+12)

+0.3264×(0+12)+0.2671×(0+12)

=-53.58

应选；

同理可得：

Ⅱ、给定：=-85.85=-33=-39.2，应选；

Ⅲ、给定：=7.14=-33=-5.59，应选；

Ⅳ、给定χ4：=24.12=-33=2.91，应选。

故：在进行了地震勘探试验以后的贝叶斯行动为：

将X值和所对应的行动、期望损失和边缘分布列表如下：

贝叶斯行动

期望损失

边缘分布

-112.93

0.351

-85.8469

0.2177

-33

0.225

-33

0.2062

则进行地震勘探试验后总的期望损失为：

=-72.56〔万元〕