六重积分的应用市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

六、重积分应用

第二十一章重积分

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一、区域连通性分类

设D为平面区域,假如D内任一闭曲线所围成部分都属于D,则称D为平面单连通区域,不然称为复连通区域.

复连通区域

单连通区域

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一、立体体积

二重积分几何意义

当被积函数不小于零时，二重积分是柱体体积．

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例1计算由曲面

及xoy面所围立体

体积。

解

设置体在

第一卦限上

体积为V1。

由立体对称性，所求立

体体积V=4V1。

立体在第一卦限部分能够看

成是一个曲顶柱体，它曲

顶为

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立体在第一卦限部分能够看

成是一个曲顶柱体，它曲

顶为

它底为

于是，

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所求立体体积

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例2求两个圆柱面

所围

立体在第一卦限部分体积。

解

所求立体

能够当作

是一个曲

顶柱体，

它曲顶为

它底为

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它底为

它曲顶为

于是，立体体积为

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例3求球体

被圆柱面

所截得（含在圆柱面内部分）立体体积。

解

显然，所求立体应在第一、

第四、第五、第八卦限。

并且，四个卦限部分体积

是对称相等。

因此，若设第一卦限部分体

积为V1，则所求立体体积为

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V1能够当作是一个曲顶柱体，

它曲顶为

它底D由半圆周

及x轴围成。

用极坐标系表示

于是，

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所求立体体积

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二、曲面面积

１．设曲面方程为：

如图，

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---曲面S面积元素

曲面面积公式为：

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３．设曲面方程为：

曲面面积公式为：

２．设曲面方程为：

曲面面积公式为：

同理可得

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解

设第一卦限部分面积为A1，

则由对称性，所求面积为

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极坐标系下表示：

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例5求两个圆柱面

所围

立体表面在第一卦限部分面积A。

解

所求表面分成Ⅰ和Ⅱ，如图。

Ⅰ

Ⅱ

第一块（Ⅰ）在圆柱面

第一块（Ⅱ）在圆柱面

由对称性，这两块曲面面积相等，即AⅠ=AⅡ。

因此，A=2AⅠ。

在AⅠ上，曲面方程为

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AⅠ

在AⅠ上，曲面方程为

因此，A=2AⅠ。

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AⅠ

AⅠ

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AⅠ

于是所求面积，A=2AⅠ

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几何应用：立体体积、曲面面积

物理应用：重心、对质点引力（略）

（注意审题，熟悉相关物理知识）

三、小结

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