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2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题答案
1.解：因为
2222
(a+b+c)a+b+c+2ab+2bc+2ca⇒ab+bc+ca0
且
333222
a+b+c−3abc=(a+b+c)(a+b+c−ab−bc−ca)⇒abc=1
从而我们有
a+b+c=0
ab+bc+ca=0
abc=1
由韦达定理知a,b,c是方程x−1=03的三个根.由于2023≡1(mod3)，所以
202320232023
a+b+c=a+b+c=0
故选择A.
2.解：类似于上题，我们可以得到
x+y+z=4
xy+yx+zx=5
xyz=2
从而x,y,z是方程t−4t+5t−2=032的三个根，注意到
322
t−4t+5t−2=(t−1)(t−2)
从而是的一个排列，即原方程组的解有3组，故选择.
x,y,z1,1,2B
3.解：不失一般性，设z=0，则
1
z+z=8+2i，zz=15+10i
1212
从而有z=5，z=3+2i
23
不妨设z,z对应的点为和，内心为，从而有
ABI
23
=OA5,=OB13,=AB8
且OA⋅Im(z)=(OA+AB+OB)⋅r
3
所以
10
r=
5+13+8
于是我们有
51010
=0.5r=1
65+16+95+9+4
从而选择B
λ
4.解：设AB的中点为，则PA+PB=2PD.由PA+PB+PC=0，
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