2012-2023北京中考真题数学汇编：图形的旋转.docx

第PAGE1页/共NUMPAGES1页

2012-2023北京中考真题数学汇编

图形的旋转

一、证明题

1．（2023北京中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

????

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；

(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．

2．（2013北京中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值．

二、作图题

3．（2019北京中考真题）已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．

4．（2012北京中考真题）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．

(1)若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

(2)在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

(3)对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围．

参考答案

1．(1)见解析

(2)，证明见解析

【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；

（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．

【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即D是的中点；

（2）；

证明：如图2，延长到H使，连接，，

∵，

∴是的中位线，

∴，，

由旋转的性质得：，，

∴，

∵，

∴，是等腰三角形，

∴，，

设，，则，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，即．

??

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．

2．（1）（2）见解析（3）

【分析】（1）利用三角形内角和为180°，求出∠ABC的度数，即可求出答案；

（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；

（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-α=15°，求出即可．

【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，

∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，

∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，

即∠ABD=30°-α；

（2）△ABE为等边三角形．

证明：如图，连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，

∴BC=BD，∠DBC=60°．

又∵∠ABE=60°，

∴且△BCD为等边三角形．

在△ABD与△ACD中，

∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴．

∵∠BCE=150°，

∴．

∴．

在△ABD和△EBC中，

∵，，BC=BD，

∴△ABD≌△EBC（AAS）．

∴AB=BE．

∴△ABE为等边三角形．

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，

∴．

又∵∠DEC=45°，

∴△DCE为等腰直角三角形．

∴DC=CE=BC．

∵∠BCE=150°，

∴．

而．

∴．

【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，其中，理解与掌握相关概念并能正确运用作辅助线构造全等三角形与等边三角形是解决本题的关键，本题综合性较强，对学生的能力要求较高．

3．（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.

【分析】（1）根据题