2012-2023北京中考真题数学汇编：旋转变换.docx

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2012-2023北京中考真题数学汇编

旋转变换

一、证明题

1．（2023北京中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

????

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；

(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．

2．（2021北京中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．

（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

3．（2013北京中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值．

二、作图题

4．（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．

(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．

①在图中画出点；

②连接交线段于点求证：

(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）.

5．（2019北京中考真题）已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．

6．（2012北京中考真题）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．

(1)若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

(2)在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

(3)对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围．

三、问答题

7．（2021北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．

（1）如图，点的横?纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；

（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；

（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．

参考答案

1．(1)见解析

(2)，证明见解析

【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；

（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．

【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即D是的中点；

（2）；

证明：如图2，延长到H使，连接，，

∵，

∴是的中位线，

∴，，

由旋转的性质得：，，

∴，

∵，

∴，是等腰三角形，

∴，，

设，，则，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，即．

??

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．

2．（1），，理由见详解；（2），理由见详解．

【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，进而问题可求解；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，由（1）可得，，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∴，

由旋转的性质可得，

∵，

∴，

∴，

∵点M为BC的中点，

∴，

∵，

∴；

（2）证明：，理由如下：

过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，如图所示：

∴，

由（1）可得，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与