2012-2023北京中考真题数学汇编：一元二次方程和它的解法.docx

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2012-2023北京中考真题数学汇编

一元二次方程和它的解法

一、单选题

1．（2023北京中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（????）

A． B． C． D．9

2．（2022北京中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2015北京中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=，b=．

4．（2012北京中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是．

三、证明题

5．（2021北京中考真题）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

6．（2017北京中考真题）已知关于x的方程

（1）求证：方程总有两个实数根

（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围

7．（2014北京中考真题）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．

???（1）求证：方程总有两个实数根；

???（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

四、问答题

8．（2019北京中考真题）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

9．（2018北京中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

10．（2016北京中考真题）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

11．（2013北京中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．

参考答案

1．C

【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．

【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴．

解得：．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

2．C

【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．

【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴=0，

∴，

解得，故C正确．

故选：C．

【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．

3．42

【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，

∴

∴b2-a=0，

∴a=b2，

当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．

故答案为4，2（答案不唯一）

4．-1

【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．

【详解】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，

∴△=0，

∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1．

故答案为：-1．

5．（1）见详解；（2）

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．

【详解】（1）证明：由题意得：，

∴，

∵，

∴，

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，

∵，

∴，

解得：，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．

6．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）证出根的判别式即可完成；

（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.

【详解】（1）证明：

∴方程总有两个实数根

（2）

∴

∴

∵方程有一个小于1的正根

∴

∴

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.

7．（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2

【分析】（1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；

（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数