阿氏圆分析和总结.docx

阿氏圆模型专题训练

阿氏圆模型专题训练

阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：

已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜A型相似(也叫母子型相似或美人鱼相似)+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

观察下面的图形，当P在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。

解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。

解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。

如图，在△ABC的边AC上找一点D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△ABD∽△ACB。

母子型相似（共角共边）

B

A D C

那么如何应用阿氏圆的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:

那么如何应用阿氏圆的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:

已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.

1 A

求AP?2BP的最小值为

1

求3AP?BP的最小值为

P

实战练习： C B

1、已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点， D

22试求 PC?PD的最小值

2

2

C

1P

2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求2

AP?BP的最小值

3、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，

1

（1）4

AP?BP的最小值; yB

A O B

（2）S

的最小值.

PAB

P

4、如图1，在平面直角坐标A系xoy中，O半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O

的切线，AD=2，BC=7. C x

求OD的长；

如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.

①求证：△OPQ∽△ODP;

②是否存在点P，使PD? 2PC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，

1 1

求PD?2PC的最小值和PD?2PC的最大值.

如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么

2 2

PD?3PC的最小值为 ；PD?3PC的最大值为

如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个

1 1

动点.那么PD?2PC的最小值为 ；PD?2PC的最大值为

巩固练习：

AP?1BP

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP， 2

最小值为（ ）

37A、 B、6 C、2 17 D、4

37

2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则

2PA? 2 PC

2

的最小值是 ．

3

PB?

3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则 2PD

的最小值为 ．

4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是 ．

y

5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求

PD?1PC

PD?1PC

的2

的

最小值和

的最大值．

PD?2PC

如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求

2

的最

小值和PD?3PC的最大值．

x

PD?1PC

如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求 2

PD?1PC

的最小值和

2 的最大值．

图1 图2 图3

套路总结

阿氏圆基本解法：构造相似

阿氏圆一般解题步骤：PC?kPD

第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连